---

Step * 1 1 2 1 1 1 of Lemma global-order-compat-joint-embedding

.....equality..... 
1. Info : Type
2. L1 : (Id × Info) List@i
3. L2 : (Id × Info) List@i
4. L1 || L2@i
5. L : (Id × Info) List
6. L1 ≤ L
7. f : ℕ||L2|| ─→ ℕ||L||
8. ∀i,j:ℕ||L2||.  (i < j ⇒ (f i < f j ∨ f j < ||L1||))
9. ∀j:ℕ||L2||
     ((L2[j] = L[f j] ∈ (Id × Info))
     ∧ (filter(λx.fst(x) = fst(L2[j]);firstn(j + 1;L2))
       = filter(λx.fst(x) = fst(L2[j]);firstn((f j) + 1;L))
       ∈ ((Id × Info) List)))
10. ∀x:ℕ||L||. (x < ||L1|| ∨ (∃i:ℕ||L2||. (x = (f i) ∈ ℤ)))
11. L2 ≤ L, locally
12. ∀i:Id
      ((filter(λx.fst(x) = i;L) = filter(λx.fst(x) = i;L1) ∈ ((Id × Info) List))
      ∨ (filter(λx.fst(x) = i;L) = filter(λx.fst(x) = i;L2) ∈ ((Id × Info) List)))
13. (λx.x embeds global-eo(L1) into global-eo(L))
14. ||L1|| ≤ ||L||
15. λx.x ∈ E ─→ E
16. e : {e:ℕ||L2||| True} @i
17. loc(e) = loc(f e) ∈ Id
18. i : Id@i
19. loc(f e) = i ∈ Id@i
⊢ filter(λx.fst(x) = i;firstn(e + 1;L2)) = filter(λx.fst(x) = i;firstn((f e) + 1;L)) ∈ ((Id × Info) List)
BY
{ (D -4 THEN (InstHyp [⌈e⌉] 9⋅ THENA Auto)) }

1
1. Info : Type
2. L1 : (Id × Info) List@i
3. L2 : (Id × Info) List@i
4. L1 || L2@i
5. L : (Id × Info) List
6. L1 ≤ L
7. f : ℕ||L2|| ─→ ℕ||L||
8. ∀i,j:ℕ||L2||.  (i < j ⇒ (f i < f j ∨ f j < ||L1||))
9. ∀j:ℕ||L2||
     ((L2[j] = L[f j] ∈ (Id × Info))
     ∧ (filter(λx.fst(x) = fst(L2[j]);firstn(j + 1;L2))
       = filter(λx.fst(x) = fst(L2[j]);firstn((f j) + 1;L))
       ∈ ((Id × Info) List)))
10. ∀x:ℕ||L||. (x < ||L1|| ∨ (∃i:ℕ||L2||. (x = (f i) ∈ ℤ)))
11. L2 ≤ L, locally
12. ∀i:Id
      ((filter(λx.fst(x) = i;L) = filter(λx.fst(x) = i;L1) ∈ ((Id × Info) List))
      ∨ (filter(λx.fst(x) = i;L) = filter(λx.fst(x) = i;L2) ∈ ((Id × Info) List)))
13. (λx.x embeds global-eo(L1) into global-eo(L))
14. ||L1|| ≤ ||L||
15. λx.x ∈ E ─→ E
16. e : ℕ||L2||@i
17. True@i
18. loc(e) = loc(f e) ∈ Id
19. i : Id@i
20. loc(f e) = i ∈ Id@i
21. (L2[e] = L[f e] ∈ (Id × Info))
∧ (filter(λx.fst(x) = fst(L2[e]);firstn(e + 1;L2))
  = filter(λx.fst(x) = fst(L2[e]);firstn((f e) + 1;L))
  ∈ ((Id × Info) List))
⊢ filter(λx.fst(x) = i;firstn(e + 1;L2)) = filter(λx.fst(x) = i;firstn((f e) + 1;L)) ∈ ((Id × Info) List)

---

Latex:

---

Latex:
.....equality..... 
1.  Info  :  Type
2.  L1  :  (Id  \mtimes{}  Info)  List@i
3.  L2  :  (Id  \mtimes{}  Info)  List@i
4.  L1  ||  L2@i
5.  L  :  (Id  \mtimes{}  Info)  List
6.  L1  \mleq{}  L
7.  f  :  \mBbbN{}||L2||  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}||L||
8.  \mforall{}i,j:\mBbbN{}||L2||.    (i  <  j  {}\mRightarrow{}  (f  i  <  f  j  \mvee{}  f  j  <  ||L1||))
9.  \mforall{}j:\mBbbN{}||L2||
          ((L2[j]  =  L[f  j])
          \mwedge{}  (filter(\mlambda{}x.fst(x)  =  fst(L2[j]);firstn(j  +  1;L2))
              =  filter(\mlambda{}x.fst(x)  =  fst(L2[j]);firstn((f  j)  +  1;L))))
10.  \mforall{}x:\mBbbN{}||L||.  (x  <  ||L1||  \mvee{}  (\mexists{}i:\mBbbN{}||L2||.  (x  =  (f  i))))
11.  L2  \mleq{}  L,  locally
12.  \mforall{}i:Id
            ((filter(\mlambda{}x.fst(x)  =  i;L)  =  filter(\mlambda{}x.fst(x)  =  i;L1))
            \mvee{}  (filter(\mlambda{}x.fst(x)  =  i;L)  =  filter(\mlambda{}x.fst(x)  =  i;L2)))
13.  (\mlambda{}x.x  embeds  global-eo(L1)  into  global-eo(L))
14.  ||L1||  \mleq{}  ||L||
15.  \mlambda{}x.x  \mmember{}  E  {}\mrightarrow{}  E
16.  e  :  \{e:\mBbbN{}||L2|||  True\}  @i
17.  loc(e)  =  loc(f  e)
18.  i  :  Id@i
19.  loc(f  e)  =  i@i
\mvdash{}  filter(\mlambda{}x.fst(x)  =  i;firstn(e  +  1;L2))  =  filter(\mlambda{}x.fst(x)  =  i;firstn((f  e)  +  1;L))


By

---

Latex:
(D  -4  THEN  (InstHyp  [\mkleeneopen{}e\mkleeneclose{}]  9\mcdot{}  THENA  Auto))

---

Home Index