---

Step * 1 3 of Lemma global-order-compat-joint-embedding


1. [Info] : Type
2. L1 : (Id × Info) List@i
3. L2 : (Id × Info) List@i
4. L1 || L2@i
5. L : (Id × Info) List
6. L1 ≤ L
7. f : ℕ||L2|| ─→ ℕ||L||
8. ∀i,j:ℕ||L2||.  (i < j ⇒ (f i < f j ∨ f j < ||L1||))
9. ∀j:ℕ||L2||
     ((L2[j] = L[f j] ∈ (Id × Info))
     ∧ (filter(λx.fst(x) = fst(L2[j]);firstn(j + 1;L2))
       = filter(λx.fst(x) = fst(L2[j]);firstn((f j) + 1;L))
       ∈ ((Id × Info) List)))
10. ∀x:ℕ||L||. (x < ||L1|| ∨ (∃i:ℕ||L2||. (x = (f i) ∈ ℤ)))
11. L2 ≤ L, locally
12. ∀i:Id
      ((filter(λx.fst(x) = i;L) = filter(λx.fst(x) = i;L1) ∈ ((Id × Info) List))
      ∨ (filter(λx.fst(x) = i;L) = filter(λx.fst(x) = i;L2) ∈ ((Id × Info) List)))
13. (λx.x embeds global-eo(L1) into global-eo(L))
14. ||L1|| ≤ ||L||
15. λx.x ∈ E ─→ E
16. f ∈ E ─→ E
⊢ ∀x,y:E.  ((x < y) ⇒ ((f x < f y) ∨ (∃z:E. ((f y) = z ∈ E))))
BY
{ ((All (RWO "global-eo-E-sq") THENA Auto) THEN RepeatFor 2 ((D 0 THENA Auto))) }

1
1. [Info] : Type
2. L1 : (Id × Info) List@i
3. L2 : (Id × Info) List@i
4. L1 || L2@i
5. L : (Id × Info) List
6. L1 ≤ L
7. f : ℕ||L2|| ─→ ℕ||L||
8. ∀i,j:ℕ||L2||.  (i < j ⇒ (f i < f j ∨ f j < ||L1||))
9. ∀j:ℕ||L2||
     ((L2[j] = L[f j] ∈ (Id × Info))
     ∧ (filter(λx.fst(x) = fst(L2[j]);firstn(j + 1;L2))
       = filter(λx.fst(x) = fst(L2[j]);firstn((f j) + 1;L))
       ∈ ((Id × Info) List)))
10. ∀x:ℕ||L||. (x < ||L1|| ∨ (∃i:ℕ||L2||. (x = (f i) ∈ ℤ)))
11. L2 ≤ L, locally
12. ∀i:Id
      ((filter(λx.fst(x) = i;L) = filter(λx.fst(x) = i;L1) ∈ ((Id × Info) List))
      ∨ (filter(λx.fst(x) = i;L) = filter(λx.fst(x) = i;L2) ∈ ((Id × Info) List)))
13. (λx.x embeds global-eo(L1) into global-eo(L))
14. ||L1|| ≤ ||L||
15. λx.x ∈ {e:ℕ||L1||| True}  ─→ {e:ℕ||L||| True} 
16. f ∈ {e:ℕ||L2||| True}  ─→ {e:ℕ||L||| True} 
17. x : {e:ℕ||L2||| True} @i
18. y : {e:ℕ||L2||| True} @i
⊢ (x < y) ⇒ ((f x < f y) ∨ (∃z:{e:ℕ||L1||| True} . ((f y) = z ∈ {e:ℕ||L||| True} )))

---

Latex:

---

Latex:

1.  [Info]  :  Type
2.  L1  :  (Id  \mtimes{}  Info)  List@i
3.  L2  :  (Id  \mtimes{}  Info)  List@i
4.  L1  ||  L2@i
5.  L  :  (Id  \mtimes{}  Info)  List
6.  L1  \mleq{}  L
7.  f  :  \mBbbN{}||L2||  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}||L||
8.  \mforall{}i,j:\mBbbN{}||L2||.    (i  <  j  {}\mRightarrow{}  (f  i  <  f  j  \mvee{}  f  j  <  ||L1||))
9.  \mforall{}j:\mBbbN{}||L2||
          ((L2[j]  =  L[f  j])
          \mwedge{}  (filter(\mlambda{}x.fst(x)  =  fst(L2[j]);firstn(j  +  1;L2))
              =  filter(\mlambda{}x.fst(x)  =  fst(L2[j]);firstn((f  j)  +  1;L))))
10.  \mforall{}x:\mBbbN{}||L||.  (x  <  ||L1||  \mvee{}  (\mexists{}i:\mBbbN{}||L2||.  (x  =  (f  i))))
11.  L2  \mleq{}  L,  locally
12.  \mforall{}i:Id
            ((filter(\mlambda{}x.fst(x)  =  i;L)  =  filter(\mlambda{}x.fst(x)  =  i;L1))
            \mvee{}  (filter(\mlambda{}x.fst(x)  =  i;L)  =  filter(\mlambda{}x.fst(x)  =  i;L2)))
13.  (\mlambda{}x.x  embeds  global-eo(L1)  into  global-eo(L))
14.  ||L1||  \mleq{}  ||L||
15.  \mlambda{}x.x  \mmember{}  E  {}\mrightarrow{}  E
16.  f  \mmember{}  E  {}\mrightarrow{}  E
\mvdash{}  \mforall{}x,y:E.    ((x  <  y)  {}\mRightarrow{}  ((f  x  <  f  y)  \mvee{}  (\mexists{}z:E.  ((f  y)  =  z))))


By

---

Latex:
((All  (RWO  "global-eo-E-sq")  THENA  Auto)  THEN  RepeatFor  2  ((D  0  THENA  Auto)))

---

Home Index