---

Step * of Lemma iterated-classrel-invariant

∀[Info,A,S:Type]. ∀[init:Id ─→ bag(S)]. ∀[f:A ─→ S ─→ S]. ∀[X:EClass(A)]. ∀[P:S ─→ ℙ].
  ∀es:EO+(Info). ∀e:E. ∀v:S.
    ((∀s:S. (s ↓∈ init loc(e) ⇒ P[s]))
    ⇒ (∀a:A. ∀e':E. ∀s:S.
          (e' ≤loc e  ⇒ a ∈ X(e') ⇒ prior-iterated-classrel(es;A;S;s;X;f;init;e') ⇒ P[s] ⇒ P[f a s]))
    ⇒ iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;e;v)
    ⇒ P[v])
BY
{ ((UnivCD THENA Auto)
   THEN RepeatFor 5 (MoveToConcl (-1))
   THEN StrongCausalInd
   THEN (UnivCD THENA Auto)
   THEN RecUnfold `iterated-classrel` (-1)
   THEN ExRepD
   THEN (SplitOnHypITE (-2) THENA Auto)) }

1
.....truecase..... 
1. [Info] : Type
2. [A] : Type
3. [S] : Type
4. [init] : Id ─→ bag(S)
5. [f] : A ─→ S ─→ S
6. [X] : EClass(A)
7. [P] : S ─→ ℙ
8. es : EO+(Info)@i'
9. e : E@i
10. ∀e1:E
      ((e1 < e)
      ⇒ (∀v:S
            ((∀s:S. (s ↓∈ init loc(e1) ⇒ P[s]))
            ⇒ (∀a:A. ∀e':E. ∀s:S.
                  (e' ≤loc e1  ⇒ a ∈ X(e') ⇒ prior-iterated-classrel(es;A;S;s;X;f;init;e') ⇒ P[s] ⇒ P[f a s]))
            ⇒ iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;e1;v)
            ⇒ P[v])))
11. v : S@i
12. ∀s:S. (s ↓∈ init loc(e) ⇒ P[s])@i
13. ∀a:A. ∀e':E. ∀s:S.  (e' ≤loc e  ⇒ a ∈ X(e') ⇒ prior-iterated-classrel(es;A;S;s;X;f;init;e') ⇒ P[s] ⇒ P[f a s])@i
14. z : S@i
15. z ↓∈ init loc(e)@i
16. (∃a:A. (a ∈ X(e) ∧ (v = (f a z) ∈ S))) ∨ ((∀a:A. (¬a ∈ X(e))) ∧ (v = z ∈ S))@i
17. ↑first(e)
⊢ P[v]

2
.....falsecase..... 
1. [Info] : Type
2. [A] : Type
3. [S] : Type
4. [init] : Id ─→ bag(S)
5. [f] : A ─→ S ─→ S
6. [X] : EClass(A)
7. [P] : S ─→ ℙ
8. es : EO+(Info)@i'
9. e : E@i
10. ∀e1:E
      ((e1 < e)
      ⇒ (∀v:S
            ((∀s:S. (s ↓∈ init loc(e1) ⇒ P[s]))
            ⇒ (∀a:A. ∀e':E. ∀s:S.
                  (e' ≤loc e1  ⇒ a ∈ X(e') ⇒ prior-iterated-classrel(es;A;S;s;X;f;init;e') ⇒ P[s] ⇒ P[f a s]))
            ⇒ iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;e1;v)
            ⇒ P[v])))
11. v : S@i
12. ∀s:S. (s ↓∈ init loc(e) ⇒ P[s])@i
13. ∀a:A. ∀e':E. ∀s:S.  (e' ≤loc e  ⇒ a ∈ X(e') ⇒ prior-iterated-classrel(es;A;S;s;X;f;init;e') ⇒ P[s] ⇒ P[f a s])@i
14. z : S@i
15. iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);z)@i
16. (∃a:A. (a ∈ X(e) ∧ (v = (f a z) ∈ S))) ∨ ((∀a:A. (¬a ∈ X(e))) ∧ (v = z ∈ S))@i
17. ¬↑first(e)
⊢ P[v]

---

Latex:


\mforall{}[Info,A,S:Type].  \mforall{}[init:Id  {}\mrightarrow{}  bag(S)].  \mforall{}[f:A  {}\mrightarrow{}  S  {}\mrightarrow{}  S].  \mforall{}[X:EClass(A)].  \mforall{}[P:S  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}].
    \mforall{}es:EO+(Info).  \mforall{}e:E.  \mforall{}v:S.
        ((\mforall{}s:S.  (s  \mdownarrow{}\mmember{}  init  loc(e)  {}\mRightarrow{}  P[s]))
        {}\mRightarrow{}  (\mforall{}a:A.  \mforall{}e':E.  \mforall{}s:S.
                    (e'  \mleq{}loc  e 
                    {}\mRightarrow{}  a  \mmember{}  X(e')
                    {}\mRightarrow{}  prior-iterated-classrel(es;A;S;s;X;f;init;e')
                    {}\mRightarrow{}  P[s]
                    {}\mRightarrow{}  P[f  a  s]))
        {}\mRightarrow{}  iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;e;v)
        {}\mRightarrow{}  P[v])


By

((UnivCD  THENA  Auto)
  THEN  RepeatFor  5  (MoveToConcl  (-1))
  THEN  StrongCausalInd
  THEN  (UnivCD  THENA  Auto)
  THEN  RecUnfold  `iterated-classrel`  (-1)
  THEN  ExRepD
  THEN  (SplitOnHypITE  (-2)  THENA  Auto))

---

Home Index