Step
*
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1
1
2
of Lemma
iterated_classrel_trans2
1. Info : Type
2. A : Type
3. S : Type
4. init : Id ─→ bag(S)
5. f : A ─→ S ─→ S
6. X : EClass(A)
7. es : EO+(Info)@i'
8. single-valued-classrel(es;X;A)@i
9. R : S ─→ S ─→ ℙ
10. ∀x,y:S. SqStable(R[x;y])@i
11. Trans(S;x,y.R[x;y])@i
12. ∀a:A. ∀e:E. (a ∈ X(e) ⇒ (∀s:S. R[s;f a s]))@i
13. e1 : E@i
14. e2 : E@i
15. ∀e':E
((e' < e2)
⇒ single-valued-bag(init loc(e1);S)
⇒ (e1 <loc e')
⇒ (∀v1,v2:S.
(iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;e1;v1)
⇒ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;e';v2)
⇒ (((∃e:E. ((e1 <loc e) ∧ e ≤loc e' ∧ (∃a:A. a ∈ X(e)))) ⇒ R[v1;v2])
∧ ((∀e:E. ((e1 <loc e) ⇒ e ≤loc e' ⇒ (∀a:A. (¬a ∈ X(e))))) ⇒ (v1 = v2 ∈ S))))))
16. single-valued-bag(init loc(e1);S)@i
17. (e1 <loc e2)@i
18. v1 : S@i
19. v2 : S@i
20. iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;e1;v1)@i
21. z : S@i
22. iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e2);z)@i
23. (∃a:A. (a ∈ X(e2) ∧ (v2 = (f a z) ∈ S))) ∨ ((∀a:A. (¬a ∈ X(e2))) ∧ (v2 = z ∈ S))@i
24. ¬↑first(e2)
25. (e1 <loc pred(e2))
26. (∃e:E. ((e1 <loc e) ∧ e ≤loc pred(e2) ∧ (∃a:A. a ∈ X(e)))) ⇒ R[v1;z]
27. (∀e:E. ((e1 <loc e) ⇒ e ≤loc pred(e2) ⇒ (∀a:A. (¬a ∈ X(e))))) ⇒ (v1 = z ∈ S)
28. e : E@i
29. (e1 <loc e)@i
30. e = e2 ∈ E@i
31. a : A@i
32. a ∈ X(e)@i
⊢ R[v1;v2]
BY
{ (D (-10)
THEN Try (Complete ((Assert ⌈False⌉⋅ THEN Auto)))
THEN ExRepD
THEN ThinVar `e'
THEN ThinVar `a'
THEN (InstLemma `decidable__exists-classrel-between3` [⌈Info⌉;⌈A⌉;⌈X⌉;⌈es⌉;⌈e1⌉;⌈pred(e2)⌉]⋅ THENA Auto)
THEN D (-1)) }
1
1. Info : Type
2. A : Type
3. S : Type
4. init : Id ─→ bag(S)
5. f : A ─→ S ─→ S
6. X : EClass(A)
7. es : EO+(Info)@i'
8. single-valued-classrel(es;X;A)@i
9. R : S ─→ S ─→ ℙ
10. ∀x,y:S. SqStable(R[x;y])@i
11. Trans(S;x,y.R[x;y])@i
12. ∀a:A. ∀e:E. (a ∈ X(e) ⇒ (∀s:S. R[s;f a s]))@i
13. e1 : E@i
14. e2 : E@i
15. ∀e':E
((e' < e2)
⇒ single-valued-bag(init loc(e1);S)
⇒ (e1 <loc e')
⇒ (∀v1,v2:S.
(iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;e1;v1)
⇒ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;e';v2)
⇒ (((∃e:E. ((e1 <loc e) ∧ e ≤loc e' ∧ (∃a:A. a ∈ X(e)))) ⇒ R[v1;v2])
∧ ((∀e:E. ((e1 <loc e) ⇒ e ≤loc e' ⇒ (∀a:A. (¬a ∈ X(e))))) ⇒ (v1 = v2 ∈ S))))))
16. single-valued-bag(init loc(e1);S)@i
17. (e1 <loc e2)@i
18. v1 : S@i
19. v2 : S@i
20. iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;e1;v1)@i
21. z : S@i
22. iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e2);z)@i
23. a1 : A@i
24. a1 ∈ X(e2)@i
25. v2 = (f a1 z) ∈ S@i
26. ¬↑first(e2)
27. (e1 <loc pred(e2))
28. (∃e:E. ((e1 <loc e) ∧ e ≤loc pred(e2) ∧ (∃a:A. a ∈ X(e)))) ⇒ R[v1;z]
29. (∀e:E. ((e1 <loc e) ⇒ e ≤loc pred(e2) ⇒ (∀a:A. (¬a ∈ X(e))))) ⇒ (v1 = z ∈ S)
30. ∃e:E. ((e1 <loc e) ∧ e ≤loc pred(e2) ∧ (↓∃v:A. v ∈ X(e)))
⊢ R[v1;v2]
2
1. Info : Type
2. A : Type
3. S : Type
4. init : Id ─→ bag(S)
5. f : A ─→ S ─→ S
6. X : EClass(A)
7. es : EO+(Info)@i'
8. single-valued-classrel(es;X;A)@i
9. R : S ─→ S ─→ ℙ
10. ∀x,y:S. SqStable(R[x;y])@i
11. Trans(S;x,y.R[x;y])@i
12. ∀a:A. ∀e:E. (a ∈ X(e) ⇒ (∀s:S. R[s;f a s]))@i
13. e1 : E@i
14. e2 : E@i
15. ∀e':E
((e' < e2)
⇒ single-valued-bag(init loc(e1);S)
⇒ (e1 <loc e')
⇒ (∀v1,v2:S.
(iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;e1;v1)
⇒ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;e';v2)
⇒ (((∃e:E. ((e1 <loc e) ∧ e ≤loc e' ∧ (∃a:A. a ∈ X(e)))) ⇒ R[v1;v2])
∧ ((∀e:E. ((e1 <loc e) ⇒ e ≤loc e' ⇒ (∀a:A. (¬a ∈ X(e))))) ⇒ (v1 = v2 ∈ S))))))
16. single-valued-bag(init loc(e1);S)@i
17. (e1 <loc e2)@i
18. v1 : S@i
19. v2 : S@i
20. iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;e1;v1)@i
21. z : S@i
22. iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e2);z)@i
23. a1 : A@i
24. a1 ∈ X(e2)@i
25. v2 = (f a1 z) ∈ S@i
26. ¬↑first(e2)
27. (e1 <loc pred(e2))
28. (∃e:E. ((e1 <loc e) ∧ e ≤loc pred(e2) ∧ (∃a:A. a ∈ X(e)))) ⇒ R[v1;z]
29. (∀e:E. ((e1 <loc e) ⇒ e ≤loc pred(e2) ⇒ (∀a:A. (¬a ∈ X(e))))) ⇒ (v1 = z ∈ S)
30. ¬(∃e:E. ((e1 <loc e) ∧ e ≤loc pred(e2) ∧ (↓∃v:A. v ∈ X(e))))
⊢ R[v1;v2]
Latex:
1. Info : Type
2. A : Type
3. S : Type
4. init : Id {}\mrightarrow{} bag(S)
5. f : A {}\mrightarrow{} S {}\mrightarrow{} S
6. X : EClass(A)
7. es : EO+(Info)@i'
8. single-valued-classrel(es;X;A)@i
9. R : S {}\mrightarrow{} S {}\mrightarrow{} \mBbbP{}
10. \mforall{}x,y:S. SqStable(R[x;y])@i
11. Trans(S;x,y.R[x;y])@i
12. \mforall{}a:A. \mforall{}e:E. (a \mmember{} X(e) {}\mRightarrow{} (\mforall{}s:S. R[s;f a s]))@i
13. e1 : E@i
14. e2 : E@i
15. \mforall{}e':E
((e' < e2)
{}\mRightarrow{} single-valued-bag(init loc(e1);S)
{}\mRightarrow{} (e1 <loc e')
{}\mRightarrow{} (\mforall{}v1,v2:S.
(iterated\_classrel(es;S;A;f;init;X;e1;v1)
{}\mRightarrow{} iterated\_classrel(es;S;A;f;init;X;e';v2)
{}\mRightarrow{} (((\mexists{}e:E. ((e1 <loc e) \mwedge{} e \mleq{}loc e' \mwedge{} (\mexists{}a:A. a \mmember{} X(e)))) {}\mRightarrow{} R[v1;v2])
\mwedge{} ((\mforall{}e:E. ((e1 <loc e) {}\mRightarrow{} e \mleq{}loc e' {}\mRightarrow{} (\mforall{}a:A. (\mneg{}a \mmember{} X(e))))) {}\mRightarrow{} (v1 = v2))))))
16. single-valued-bag(init loc(e1);S)@i
17. (e1 <loc e2)@i
18. v1 : S@i
19. v2 : S@i
20. iterated\_classrel(es;S;A;f;init;X;e1;v1)@i
21. z : S@i
22. iterated\_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e2);z)@i
23. (\mexists{}a:A. (a \mmember{} X(e2) \mwedge{} (v2 = (f a z)))) \mvee{} ((\mforall{}a:A. (\mneg{}a \mmember{} X(e2))) \mwedge{} (v2 = z))@i
24. \mneg{}\muparrow{}first(e2)
25. (e1 <loc pred(e2))
26. (\mexists{}e:E. ((e1 <loc e) \mwedge{} e \mleq{}loc pred(e2) \mwedge{} (\mexists{}a:A. a \mmember{} X(e)))) {}\mRightarrow{} R[v1;z]
27. (\mforall{}e:E. ((e1 <loc e) {}\mRightarrow{} e \mleq{}loc pred(e2) {}\mRightarrow{} (\mforall{}a:A. (\mneg{}a \mmember{} X(e))))) {}\mRightarrow{} (v1 = z)
28. e : E@i
29. (e1 <loc e)@i
30. e = e2@i
31. a : A@i
32. a \mmember{} X(e)@i
\mvdash{} R[v1;v2]
By
(D (-10)
THEN Try (Complete ((Assert \mkleeneopen{}False\mkleeneclose{}\mcdot{} THEN Auto)))
THEN ExRepD
THEN ThinVar `e'
THEN ThinVar `a'
THEN (InstLemma `decidable\_\_exists-classrel-between3` [\mkleeneopen{}Info\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}A\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}X\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}es\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}e1\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}pred(e2)\mkleeneclose{}]\mcdot{}
THENA Auto
)
THEN D (-1))
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