---

Step * 2 of Lemma joint-embedding-preserves-causal-invariant


1. [Info] : Type
2. [R] : Id ─→ Id ─→ Info List+ ─→ Info List+ ─→ ℙ
3. [P] : Id ─→ Info List+ ─→ ℙ
4. eo1 : EO+(Info)@i'
5. eo2 : EO+(Info)@i'
6. eo : EO+(Info)@i'
7. f : E ─→ E@i
8. g : E ─→ E@i
9. (f embeds eo1 into eo)@i
10. (g embeds eo2 into eo)@i
11. ∀e:E
      (es-local-property(i,L.P[i;L];eo1;e)
      ⇒ (∃e':E. ((e' < e) ∧ es-local-relation(i,j,L1,L2.R[i;j;L1;L2];eo1;e';e))))@i
12. ∀e:E
      (es-local-property(i,L.P[i;L];eo2;e)
      ⇒ (∃e':E. ((e' < e) ∧ es-local-relation(i,j,L1,L2.R[i;j;L1;L2];eo2;e';e))))@i
13. e : E@i
14. es-local-property(i,L.P[i;L];eo;e)@i
15. e2 : E@i
16. e = (g e2) ∈ E@i
⊢ ∃e':E. ((e' < e) ∧ es-local-relation(i,j,L1,L2.R[i;j;L1;L2];eo;e';e))
BY
{ (InstHyp [⌈e2⌉] 12⋅ THENA Auto) }

1
.....antecedent..... 
1. [Info] : Type
2. [R] : Id ─→ Id ─→ Info List+ ─→ Info List+ ─→ ℙ
3. [P] : Id ─→ Info List+ ─→ ℙ
4. eo1 : EO+(Info)@i'
5. eo2 : EO+(Info)@i'
6. eo : EO+(Info)@i'
7. f : E ─→ E@i
8. g : E ─→ E@i
9. (f embeds eo1 into eo)@i
10. (g embeds eo2 into eo)@i
11. ∀e:E
      (es-local-property(i,L.P[i;L];eo1;e)
      ⇒ (∃e':E. ((e' < e) ∧ es-local-relation(i,j,L1,L2.R[i;j;L1;L2];eo1;e';e))))@i
12. ∀e:E
      (es-local-property(i,L.P[i;L];eo2;e)
      ⇒ (∃e':E. ((e' < e) ∧ es-local-relation(i,j,L1,L2.R[i;j;L1;L2];eo2;e';e))))@i
13. e : E@i
14. es-local-property(i,L.P[i;L];eo;e)@i
15. e2 : E@i
16. e = (g e2) ∈ E@i
⊢ es-local-property(i,L.P[i;L];eo2;e2)

2
1. [Info] : Type
2. [R] : Id ─→ Id ─→ Info List+ ─→ Info List+ ─→ ℙ
3. [P] : Id ─→ Info List+ ─→ ℙ
4. eo1 : EO+(Info)@i'
5. eo2 : EO+(Info)@i'
6. eo : EO+(Info)@i'
7. f : E ─→ E@i
8. g : E ─→ E@i
9. (f embeds eo1 into eo)@i
10. (g embeds eo2 into eo)@i
11. ∀e:E
      (es-local-property(i,L.P[i;L];eo1;e)
      ⇒ (∃e':E. ((e' < e) ∧ es-local-relation(i,j,L1,L2.R[i;j;L1;L2];eo1;e';e))))@i
12. ∀e:E
      (es-local-property(i,L.P[i;L];eo2;e)
      ⇒ (∃e':E. ((e' < e) ∧ es-local-relation(i,j,L1,L2.R[i;j;L1;L2];eo2;e';e))))@i
13. e : E@i
14. es-local-property(i,L.P[i;L];eo;e)@i
15. e2 : E@i
16. e = (g e2) ∈ E@i
17. ∃e':E. ((e' < e2) ∧ es-local-relation(i,j,L1,L2.R[i;j;L1;L2];eo2;e';e2))
⊢ ∃e':E. ((e' < e) ∧ es-local-relation(i,j,L1,L2.R[i;j;L1;L2];eo;e';e))

---

Latex:



1.  [Info]  :  Type
2.  [R]  :  Id  {}\mrightarrow{}  Id  {}\mrightarrow{}  Info  List\msupplus{}  {}\mrightarrow{}  Info  List\msupplus{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
3.  [P]  :  Id  {}\mrightarrow{}  Info  List\msupplus{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
4.  eo1  :  EO+(Info)@i'
5.  eo2  :  EO+(Info)@i'
6.  eo  :  EO+(Info)@i'
7.  f  :  E  {}\mrightarrow{}  E@i
8.  g  :  E  {}\mrightarrow{}  E@i
9.  (f  embeds  eo1  into  eo)@i
10.  (g  embeds  eo2  into  eo)@i
11.  \mforall{}e:E
            (es-local-property(i,L.P[i;L];eo1;e)
            {}\mRightarrow{}  (\mexists{}e':E.  ((e'  <  e)  \mwedge{}  es-local-relation(i,j,L1,L2.R[i;j;L1;L2];eo1;e';e))))@i
12.  \mforall{}e:E
            (es-local-property(i,L.P[i;L];eo2;e)
            {}\mRightarrow{}  (\mexists{}e':E.  ((e'  <  e)  \mwedge{}  es-local-relation(i,j,L1,L2.R[i;j;L1;L2];eo2;e';e))))@i
13.  e  :  E@i
14.  es-local-property(i,L.P[i;L];eo;e)@i
15.  e2  :  E@i
16.  e  =  (g  e2)@i
\mvdash{}  \mexists{}e':E.  ((e'  <  e)  \mwedge{}  es-local-relation(i,j,L1,L2.R[i;j;L1;L2];eo;e';e))


By

(InstHyp  [\mkleeneopen{}e2\mkleeneclose{}]  12\mcdot{}  THENA  Auto)

---

Home Index