---

Step * 2 2 of Lemma weak-joint-embedding-preserves-causal-invariant


1. [Info] : Type
2. [R] : Id ─→ Id ─→ Info List+ ─→ Info List+ ─→ ℙ
3. [P] : Id ─→ Info List+ ─→ ℙ
4. eo1 : EO+(Info)@i'
5. eo2 : EO+(Info)@i'
6. eo : EO+(Info)@i'
7. f : E ─→ E@i
8. g : E ─→ E@i
9. (f embeds eo1 into eo)@i
10. es-local-embedding(Info;eo2;eo;g)@i
11. ∀x,y:E.  ((x < y) ⇒ ((g x < g y) ∨ (∃z:E. ((g y) = (f z) ∈ E))))@i
12. ∀e:E
      (es-local-property(i,L.P[i;L];eo1;e)
      ⇒ (∃e':E. ((e' < e) ∧ es-local-relation(i,j,L1,L2.R[i;j;L1;L2];eo1;e';e))))@i
13. ∀e:E
      (es-local-property(i,L.P[i;L];eo2;e)
      ⇒ (∃e':E. ((e' < e) ∧ es-local-relation(i,j,L1,L2.R[i;j;L1;L2];eo2;e';e))))@i
14. e : E@i
15. es-local-property(i,L.P[i;L];eo;e)@i
16. e2 : E@i
17. e = (g e2) ∈ E@i
18. ∃e':E. ((e' < e2) ∧ es-local-relation(i,j,L1,L2.R[i;j;L1;L2];eo2;e';e2))
⊢ ∃e':E. ((e' < e) ∧ es-local-relation(i,j,L1,L2.R[i;j;L1;L2];eo;e';e))
BY
{ ExRepD }

1
1. [Info] : Type
2. [R] : Id ─→ Id ─→ Info List+ ─→ Info List+ ─→ ℙ
3. [P] : Id ─→ Info List+ ─→ ℙ
4. eo1 : EO+(Info)@i'
5. eo2 : EO+(Info)@i'
6. eo : EO+(Info)@i'
7. f : E ─→ E@i
8. g : E ─→ E@i
9. (f embeds eo1 into eo)@i
10. es-local-embedding(Info;eo2;eo;g)@i
11. ∀x,y:E.  ((x < y) ⇒ ((g x < g y) ∨ (∃z:E. ((g y) = (f z) ∈ E))))@i
12. ∀e:E
      (es-local-property(i,L.P[i;L];eo1;e)
      ⇒ (∃e':E. ((e' < e) ∧ es-local-relation(i,j,L1,L2.R[i;j;L1;L2];eo1;e';e))))@i
13. ∀e:E
      (es-local-property(i,L.P[i;L];eo2;e)
      ⇒ (∃e':E. ((e' < e) ∧ es-local-relation(i,j,L1,L2.R[i;j;L1;L2];eo2;e';e))))@i
14. e : E@i
15. es-local-property(i,L.P[i;L];eo;e)@i
16. e2 : E@i
17. e = (g e2) ∈ E@i
18. e' : E
19. (e' < e2)
20. es-local-relation(i,j,L1,L2.R[i;j;L1;L2];eo2;e';e2)
⊢ ∃e':E. ((e' < e) ∧ es-local-relation(i,j,L1,L2.R[i;j;L1;L2];eo;e';e))

---

Latex:



1.  [Info]  :  Type
2.  [R]  :  Id  {}\mrightarrow{}  Id  {}\mrightarrow{}  Info  List\msupplus{}  {}\mrightarrow{}  Info  List\msupplus{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
3.  [P]  :  Id  {}\mrightarrow{}  Info  List\msupplus{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
4.  eo1  :  EO+(Info)@i'
5.  eo2  :  EO+(Info)@i'
6.  eo  :  EO+(Info)@i'
7.  f  :  E  {}\mrightarrow{}  E@i
8.  g  :  E  {}\mrightarrow{}  E@i
9.  (f  embeds  eo1  into  eo)@i
10.  es-local-embedding(Info;eo2;eo;g)@i
11.  \mforall{}x,y:E.    ((x  <  y)  {}\mRightarrow{}  ((g  x  <  g  y)  \mvee{}  (\mexists{}z:E.  ((g  y)  =  (f  z)))))@i
12.  \mforall{}e:E
            (es-local-property(i,L.P[i;L];eo1;e)
            {}\mRightarrow{}  (\mexists{}e':E.  ((e'  <  e)  \mwedge{}  es-local-relation(i,j,L1,L2.R[i;j;L1;L2];eo1;e';e))))@i
13.  \mforall{}e:E
            (es-local-property(i,L.P[i;L];eo2;e)
            {}\mRightarrow{}  (\mexists{}e':E.  ((e'  <  e)  \mwedge{}  es-local-relation(i,j,L1,L2.R[i;j;L1;L2];eo2;e';e))))@i
14.  e  :  E@i
15.  es-local-property(i,L.P[i;L];eo;e)@i
16.  e2  :  E@i
17.  e  =  (g  e2)@i
18.  \mexists{}e':E.  ((e'  <  e2)  \mwedge{}  es-local-relation(i,j,L1,L2.R[i;j;L1;L2];eo2;e';e2))
\mvdash{}  \mexists{}e':E.  ((e'  <  e)  \mwedge{}  es-local-relation(i,j,L1,L2.R[i;j;L1;L2];eo;e';e))


By

ExRepD

---

Home Index