---

Step * 1 2 of Lemma hdf-parallel-bind-halt-eq


1. A : Type
2. B : Type
3. C : Type
4. valueall-type(B)
5. valueall-type(C)
6. u : A@i
7. v : A List@i
8. ∀X1,X2:hdataflow(A;B). ∀X:B ─→ hdataflow(A;C). ∀hdfs1,hdfs2:bag(hdataflow(A;C)).
     hdf-halted(X1 (hdfs1) >>= X || X2 (hdfs2) >>= X*(v)) = hdf-halted(X1 || X2 (hdfs1 + hdfs2) >>= X*(v))@i
9. X1 : hdataflow(A;B)@i
10. X2 : hdataflow(A;B)@i
11. X : B ─→ hdataflow(A;C)@i
12. hdfs1 : bag(hdataflow(A;C))@i
13. hdfs2 : bag(hdataflow(A;C))@i
⊢ hdf-halted(fst(X1 (hdfs1) >>= X || X2 (hdfs2) >>= X(u))*(v)) = hdf-halted(fst(X1 || X2 (hdfs1 + hdfs2) >>= X(u))*(v))
BY
{ (RW (AddrC [2;1;1;1] (UnfoldC `hdf-parallel`)) 0
   THEN RecUnfold `mk-hdf` 0
   THEN Reduce 0
   THEN (BoolCase ⌈hdf-halted(X1 (hdfs1) >>= X) ∧b hdf-halted(X2 (hdfs2) >>= X)⌉⋅ THENA Auto)) }

1
1. A : Type
2. B : Type
3. C : Type
4. valueall-type(B)
5. valueall-type(C)
6. u : A@i
7. v : A List@i
8. ∀X1,X2:hdataflow(A;B). ∀X:B ─→ hdataflow(A;C). ∀hdfs1,hdfs2:bag(hdataflow(A;C)).
     hdf-halted(X1 (hdfs1) >>= X || X2 (hdfs2) >>= X*(v)) = hdf-halted(X1 || X2 (hdfs1 + hdfs2) >>= X*(v))@i
9. X1 : hdataflow(A;B)@i
10. X2 : hdataflow(A;B)@i
11. X : B ─→ hdataflow(A;C)@i
12. hdfs1 : bag(hdataflow(A;C))@i
13. ↑hdf-halted(X1 (hdfs1) >>= X)
14. hdfs2 : bag(hdataflow(A;C))@i
15. ↑hdf-halted(X2 (hdfs2) >>= X)
⊢ hdf-halted(hdf-halt()*(v)) = hdf-halted(fst(X1 || X2 (hdfs1 + hdfs2) >>= X(u))*(v))

2
1. A : Type
2. B : Type
3. C : Type
4. valueall-type(B)
5. valueall-type(C)
6. u : A@i
7. v : A List@i
8. ∀X1,X2:hdataflow(A;B). ∀X:B ─→ hdataflow(A;C). ∀hdfs1,hdfs2:bag(hdataflow(A;C)).
     hdf-halted(X1 (hdfs1) >>= X || X2 (hdfs2) >>= X*(v)) = hdf-halted(X1 || X2 (hdfs1 + hdfs2) >>= X*(v))@i
9. X1 : hdataflow(A;B)@i
10. X2 : hdataflow(A;B)@i
11. X : B ─→ hdataflow(A;C)@i
12. hdfs1 : bag(hdataflow(A;C))@i
13. hdfs2 : bag(hdataflow(A;C))@i
14. ¬((↑hdf-halted(X1 (hdfs1) >>= X)) ∧ (↑hdf-halted(X2 (hdfs2) >>= X)))
⊢ hdf-halted(fst(hdf-run(λa.let s1,b = let X',xs = X1 (hdfs1) >>= X(a) 
                                       in let Y',ys = X2 (hdfs2) >>= X(a) 
                                          in let out ←─ xs + ys
                                             in <<X', Y'>, out> 
                            in <mk-hdf(XY,a.let X,Y = XY 
                                            in let X',xs = X(a) 
                                               in let Y',ys = Y(a) 
                                                  in let out ←─ xs + ys
                                                     in <<X', Y'>, out>;XY.let X,Y = XY 
                                                                        in hdf-halted(X) ∧b hdf-halted(Y);s1)
                               , b
                               >)(u))*(v)) 
= hdf-halted(fst(X1 || X2 (hdfs1 + hdfs2) >>= X(u))*(v))

---

Latex:

---

Latex:

1.  A  :  Type
2.  B  :  Type
3.  C  :  Type
4.  valueall-type(B)
5.  valueall-type(C)
6.  u  :  A@i
7.  v  :  A  List@i
8.  \mforall{}X1,X2:hdataflow(A;B).  \mforall{}X:B  {}\mrightarrow{}  hdataflow(A;C).  \mforall{}hdfs1,hdfs2:bag(hdataflow(A;C)).
          hdf-halted(X1  (hdfs1)  >>=  X  ||  X2  (hdfs2)  >>=  X*(v))  =  hdf-halted(X1  ||  X2  (hdfs1  +  hdfs2)  >>=  \000CX*(v))@i
9.  X1  :  hdataflow(A;B)@i
10.  X2  :  hdataflow(A;B)@i
11.  X  :  B  {}\mrightarrow{}  hdataflow(A;C)@i
12.  hdfs1  :  bag(hdataflow(A;C))@i
13.  hdfs2  :  bag(hdataflow(A;C))@i
\mvdash{}  hdf-halted(fst(X1  (hdfs1)  >>=  X  ||  X2  (hdfs2)  >>=  X(u))*(v))  =  hdf-halted(fst(X1  ||  X2  (hdfs1  +  hd\000Cfs2)  >>=  X(u))*(v))


By

---

Latex:
(RW  (AddrC  [2;1;1;1]  (UnfoldC  `hdf-parallel`))  0
  THEN  RecUnfold  `mk-hdf`  0
  THEN  Reduce  0
  THEN  (BoolCase  \mkleeneopen{}hdf-halted(X1  (hdfs1)  >>=  X)  \mwedge{}\msubb{}  hdf-halted(X2  (hdfs2)  >>=  X)\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto))

---

Home Index