---

Step * 1 3 of Lemma loop-class-memory-program_wf


1. Info : Type
2. B : Type
3. valueall-type(B)
4. X : EClass(B ─→ B)
5. init : Id ─→ bag(B)
6. pr : Id ─→ hdataflow(Info;B ─→ B)
7. ∀es:EO+(Info). ∀e:E.  (X(e) = (snd(pr loc(e)*(map(λx.info(x);before(e)))(info(e)))) ∈ bag(B ─→ B))
8. es : EO+(Info)@i'
9. e : E@i
10. ∀e1:E
      ((e1 < e)
      ⇒ (hdf-memory(pr loc(e1);init loc(e1))*(map(λx.info(x);before(e1)))
         = hdf-memory(pr loc(e1)*(map(λx.info(x);before(e1)));loop-class-memory(X;init)(e1))
         ∈ hdataflow(Info;B)))
11. ¬↑first(e)
12. ¬↑pred(e) ∈b X
13. ¬↑first(e)
14. hdf-memory(pr loc(e);init loc(e))*(map(λx.info(x);before(pred(e))))
= hdf-memory(pr loc(e)*(map(λx.info(x);before(pred(e))));loop-class-memory(X;init)(pred(e)))
∈ hdataflow(Info;B)
15. v1 : bag(B)@i
16. loop-class-memory(X;init)(pred(e)) = v1 ∈ bag(B)@i
17. x : Info ─→ (hdataflow(Info;B ─→ B) × bag(B ─→ B))@i
⊢ (pr loc(pred(e))*(map(λx.info(x);before(pred(e)))) = (inl x) ∈ hdataflow(Info;B ─→ B))
⇒ ((fst(let s1,b = let X',fs = x info(pred(e)) 
                    in let b ←─ ∪f∈fs.bag-map(f;v1)
                       in let s' ←─ if bag-null(b) then v1 else b fi 
                          in <<X', s'>, v1> 
         in <mk-hdf(Xbs,a.let X,s = Xbs 
                          in let X',fs = case X of inl(P) => P a | inr(z) => <inr ⋅ , {}> 
                             in let b ←─ ∪f∈fs.bag-map(f;s)
                                in let s' ←─ if bag-null(b) then s else b fi 
                                   in <<X', s'>, s>;s.ff;s1)
            , b
            >))
   = hdf-memory(fst((x info(pred(e))));v1)
   ∈ hdataflow(Info;B))
BY
{ ((GenApply (-1) THENA Auto)
   THEN D (-2)
   THEN Reduce 0
   THEN Fold `hdf-ap` 0
   THEN (CallByValueReduceOn ⌈∪f∈z2.bag-map(f;v1)⌉ 0⋅ THENA MaAuto)
   THEN (CallByValueReduceOn ⌈if bag-null(∪f∈z2.bag-map(f;v1)) then v1 else ∪f∈z2.bag-map(f;v1) fi ⌉ 0⋅ THENA MaAuto)
   THEN Reduce 0
   THEN Fold `hdf-memory` 0
   THEN Auto
   THEN Try ((Fold `hdf-run` 0 THEN Auto))
   THEN EqCD
   THEN Auto
   THEN OldAutoSplit) }

1
1. Info : Type
2. B : Type
3. valueall-type(B)
4. X : EClass(B ─→ B)
5. init : Id ─→ bag(B)
6. pr : Id ─→ hdataflow(Info;B ─→ B)
7. ∀es:EO+(Info). ∀e:E.  (X(e) = (snd(pr loc(e)*(map(λx.info(x);before(e)))(info(e)))) ∈ bag(B ─→ B))
8. es : EO+(Info)@i'
9. e : E@i
10. ∀e1:E
      ((e1 < e)
      ⇒ (hdf-memory(pr loc(e1);init loc(e1))*(map(λx.info(x);before(e1)))
         = hdf-memory(pr loc(e1)*(map(λx.info(x);before(e1)));loop-class-memory(X;init)(e1))
         ∈ hdataflow(Info;B)))
11. ¬↑first(e)
12. ¬↑pred(e) ∈b X
13. ¬↑first(e)
14. hdf-memory(pr loc(e);init loc(e))*(map(λx.info(x);before(pred(e))))
= hdf-memory(pr loc(e)*(map(λx.info(x);before(pred(e))));loop-class-memory(X;init)(pred(e)))
∈ hdataflow(Info;B)
15. v1 : bag(B)@i
16. loop-class-memory(X;init)(pred(e)) = v1 ∈ bag(B)@i
17. x : Info ─→ (hdataflow(Info;B ─→ B) × bag(B ─→ B))@i
18. z1 : hdataflow(Info;B ─→ B)@i
19. z2 : bag(B ─→ B)@i
20. (x info(pred(e))) = <z1, z2> ∈ (hdataflow(Info;B ─→ B) × bag(B ─→ B))@i
21. pr loc(pred(e))*(map(λx.info(x);before(pred(e)))) = (inl x) ∈ hdataflow(Info;B ─→ B)@i
22. ¬(∪f∈z2.bag-map(f;v1) = {} ∈ bag(B))
⊢ ∪f∈z2.bag-map(f;v1) = v1 ∈ bag(B)

---

Latex:

---

Latex:

1.  Info  :  Type
2.  B  :  Type
3.  valueall-type(B)
4.  X  :  EClass(B  {}\mrightarrow{}  B)
5.  init  :  Id  {}\mrightarrow{}  bag(B)
6.  pr  :  Id  {}\mrightarrow{}  hdataflow(Info;B  {}\mrightarrow{}  B)
7.  \mforall{}es:EO+(Info).  \mforall{}e:E.    (X(e)  =  (snd(pr  loc(e)*(map(\mlambda{}x.info(x);before(e)))(info(e)))))
8.  es  :  EO+(Info)@i'
9.  e  :  E@i
10.  \mforall{}e1:E
            ((e1  <  e)
            {}\mRightarrow{}  (hdf-memory(pr  loc(e1);init  loc(e1))*(map(\mlambda{}x.info(x);before(e1)))
                  =  hdf-memory(pr  loc(e1)*(map(\mlambda{}x.info(x);before(e1)));loop-class-memory(X;init)(e1))))
11.  \mneg{}\muparrow{}first(e)
12.  \mneg{}\muparrow{}pred(e)  \mmember{}\msubb{}  X
13.  \mneg{}\muparrow{}first(e)
14.  hdf-memory(pr  loc(e);init  loc(e))*(map(\mlambda{}x.info(x);before(pred(e))))
=  hdf-memory(pr  loc(e)*(map(\mlambda{}x.info(x);before(pred(e))));loop-class-memory(X;init)(pred(e)))
15.  v1  :  bag(B)@i
16.  loop-class-memory(X;init)(pred(e))  =  v1@i
17.  x  :  Info  {}\mrightarrow{}  (hdataflow(Info;B  {}\mrightarrow{}  B)  \mtimes{}  bag(B  {}\mrightarrow{}  B))@i
\mvdash{}  (pr  loc(pred(e))*(map(\mlambda{}x.info(x);before(pred(e))))  =  (inl  x))
{}\mRightarrow{}  ((fst(let  s1,b  =  let  X',fs  =  x  info(pred(e)) 
                                        in  let  b  \mleftarrow{}{}  \mcup{}f\mmember{}fs.bag-map(f;v1)
                                              in  let  s'  \mleftarrow{}{}  if  bag-null(b)  then  v1  else  b  fi 
                                                    in  <<X',  s'>,  v1> 
                  in  <mk-hdf(Xbs,a.let  X,s  =  Xbs 
                                                    in  let  X',fs  =  case  X  of  inl(P)  =>  P  a  |  inr(z)  =>  <inr  \mcdot{}  ,  \{\}> 
                                                          in  let  b  \mleftarrow{}{}  \mcup{}f\mmember{}fs.bag-map(f;s)
                                                                in  let  s'  \mleftarrow{}{}  if  bag-null(b)  then  s  else  b  fi 
                                                                      in  <<X',  s'>,  s>s.ff;s1)
                        ,  b
                        >))
      =  hdf-memory(fst((x  info(pred(e))));v1))


By

---

Latex:
((GenApply  (-1)  THENA  Auto)
  THEN  D  (-2)
  THEN  Reduce  0
  THEN  Fold  `hdf-ap`  0
  THEN  (CallByValueReduceOn  \mkleeneopen{}\mcup{}f\mmember{}z2.bag-map(f;v1)\mkleeneclose{}  0\mcdot{}  THENA  MaAuto)
  THEN  (CallByValueReduceOn  \mkleeneopen{}if  bag-null(\mcup{}f\mmember{}z2.bag-map(f;v1))  then  v1  else  \mcup{}f\mmember{}z2.bag-map(f;v1)  fi  \mkleeneclose{}  0
              \mcdot{}
              THENA  MaAuto
              )
  THEN  Reduce  0
  THEN  Fold  `hdf-memory`  0
  THEN  Auto
  THEN  Try  ((Fold  `hdf-run`  0  THEN  Auto))
  THEN  EqCD
  THEN  Auto
  THEN  OldAutoSplit)

---

Home Index