---

Step * 1 1 of Lemma es-first-at-since-iff


1. es : EO@i'
2. i : Id@i
3. e : E@i
4. [P] : {e:E| loc(e) = i ∈ Id}  ─→ ℙ
5. [R] : {e:E| loc(e) = i ∈ Id}  ─→ ℙ
6. ∀e:E. Dec(R[e]) supposing loc(e) = i ∈ Id@i
7. loc(e) = i ∈ Id@i
8. P[e]@i
9. ¬R[e]@i
10. ∀e':E. ((e' <loc e) ⇒ P[e'] ⇒ (∃e'':E. (e' ≤loc e''  ∧ (e'' <loc e) ∧ R[e''])))@i
11. e'' : E@i
12. (e'' <loc e)@i
13. P[e'']@i
14. ∃e''@0:E. (e'' ≤loc e''@0  ∧ (e''@0 <loc e) ∧ R[e''@0])
15. ∃e':E. (e' ≤loc e  c∧ (R[e'] ∧ (∀e'':E. ((e' <loc e'') ⇒ e'' ≤loc e  ⇒ (¬R[e''])))))
⊢ ∃e':E. ((e' <loc e) c∧ (R[e'] ∧ (∀e'':E. ((e' <loc e'') ⇒ (e'' <loc e) ⇒ ((¬P[e'']) ∧ (¬R[e'']))))))
BY
{ (ParallelLast THEN ExRepD THEN Auto) }

1
1. es : EO@i'
2. i : Id@i
3. e : E@i
4. [P] : {e:E| loc(e) = i ∈ Id}  ─→ ℙ
5. [R] : {e:E| loc(e) = i ∈ Id}  ─→ ℙ
6. ∀e:E. Dec(R[e]) supposing loc(e) = i ∈ Id@i
7. loc(e) = i ∈ Id@i
8. P[e]@i
9. ¬R[e]@i
10. ∀e':E. ((e' <loc e) ⇒ P[e'] ⇒ (∃e'':E. (e' ≤loc e''  ∧ (e'' <loc e) ∧ R[e''])))@i
11. e'' : E@i
12. (e'' <loc e)@i
13. P[e'']@i
14. e''@0 : E
15. e'' ≤loc e''@0 
16. (e''@0 <loc e)
17. R[e''@0]
18. e' : E
19. e' = e ∈ E
20. R[e']
21. ∀e'':E. ((e' <loc e'') ⇒ e'' ≤loc e  ⇒ (¬R[e'']))
⊢ (e' <loc e)

2
1. es : EO@i'
2. i : Id@i
3. e : E@i
4. P : {e:E| loc(e) = i ∈ Id}  ─→ ℙ
5. R : {e:E| loc(e) = i ∈ Id}  ─→ ℙ
6. ∀e:E. Dec(R[e]) supposing loc(e) = i ∈ Id@i
7. loc(e) = i ∈ Id@i
8. P[e]@i
9. ¬R[e]@i
10. ∀e':E. ((e' <loc e) ⇒ P[e'] ⇒ (∃e'':E. (e' ≤loc e''  ∧ (e'' <loc e) ∧ R[e''])))@i
11. e'' : E@i
12. (e'' <loc e)@i
13. P[e'']@i
14. e''@0 : E
15. e'' ≤loc e''@0 
16. (e''@0 <loc e)
17. R[e''@0]
18. e' : E
19. e' ≤loc e 
20. R[e']
21. ∀e'':E. ((e' <loc e'') ⇒ e'' ≤loc e  ⇒ (¬R[e'']))
22. (e' <loc e)
23. R[e']
24. e1 : E@i
25. (e' <loc e1)@i
26. (e1 <loc e)@i
⊢ ¬P[e1]

---

Latex:



1.  es  :  EO@i'
2.  i  :  Id@i
3.  e  :  E@i
4.  [P]  :  \{e:E|  loc(e)  =  i\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
5.  [R]  :  \{e:E|  loc(e)  =  i\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
6.  \mforall{}e:E.  Dec(R[e])  supposing  loc(e)  =  i@i
7.  loc(e)  =  i@i
8.  P[e]@i
9.  \mneg{}R[e]@i
10.  \mforall{}e':E.  ((e'  <loc  e)  {}\mRightarrow{}  P[e']  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}e'':E.  (e'  \mleq{}loc  e''    \mwedge{}  (e''  <loc  e)  \mwedge{}  R[e''])))@i
11.  e''  :  E@i
12.  (e''  <loc  e)@i
13.  P[e'']@i
14.  \mexists{}e''@0:E.  (e''  \mleq{}loc  e''@0    \mwedge{}  (e''@0  <loc  e)  \mwedge{}  R[e''@0])
15.  \mexists{}e':E.  (e'  \mleq{}loc  e    c\mwedge{}  (R[e']  \mwedge{}  (\mforall{}e'':E.  ((e'  <loc  e'')  {}\mRightarrow{}  e''  \mleq{}loc  e    {}\mRightarrow{}  (\mneg{}R[e''])))))
\mvdash{}  \mexists{}e':E
      ((e'  <loc  e)  c\mwedge{}  (R[e']  \mwedge{}  (\mforall{}e'':E.  ((e'  <loc  e'')  {}\mRightarrow{}  (e''  <loc  e)  {}\mRightarrow{}  ((\mneg{}P[e''])  \mwedge{}  (\mneg{}R[e'']))))))


By

(ParallelLast  THEN  ExRepD  THEN  Auto)

---

Home Index