---

Step * 2 1 of Lemma es-first-at-since-iff


1. es : EO@i'
2. i : Id@i
3. e : E@i
4. [P] : {e:E| loc(e) = i ∈ Id}  ─→ ℙ
5. [R] : {e:E| loc(e) = i ∈ Id}  ─→ ℙ
6. ∀e:E. Dec(R[e]) supposing loc(e) = i ∈ Id@i
7. loc(e) = i ∈ Id@i
8. P[e]@i
9. ¬R[e]@i
10. (∃e'':E. ((e'' <loc e) c∧ P[e'']))
⇒ (∃e':E. ((e' <loc e) c∧ (R[e'] ∧ (∀e'':E. ((e' <loc e'') ⇒ (e'' <loc e) ⇒ ((¬P[e'']) ∧ (¬R[e''])))))))@i
11. P[e]
12. ¬R[e]
13. e' : E@i
14. (e' <loc e)@i
15. P[e']@i
⊢ ∃e'':E. (e' ≤loc e''  ∧ (e'' <loc e) ∧ R[e''])
BY
{ D 10 }

1
.....antecedent..... 
1. es : EO@i'
2. i : Id@i
3. e : E@i
4. [P] : {e:E| loc(e) = i ∈ Id}  ─→ ℙ
5. [R] : {e:E| loc(e) = i ∈ Id}  ─→ ℙ
6. ∀e:E. Dec(R[e]) supposing loc(e) = i ∈ Id@i
7. loc(e) = i ∈ Id@i
8. P[e]@i
9. ¬R[e]@i
10. P[e]
11. ¬R[e]
12. e' : E@i
13. (e' <loc e)@i
14. P[e']@i
⊢ ∃e'':E. ((e'' <loc e) c∧ P[e''])

2
1. es : EO@i'
2. i : Id@i
3. e : E@i
4. [P] : {e:E| loc(e) = i ∈ Id}  ─→ ℙ
5. [R] : {e:E| loc(e) = i ∈ Id}  ─→ ℙ
6. ∀e:E. Dec(R[e]) supposing loc(e) = i ∈ Id@i
7. loc(e) = i ∈ Id@i
8. P[e]@i
9. ¬R[e]@i
10. P[e]
11. ¬R[e]
12. e' : E@i
13. (e' <loc e)@i
14. P[e']@i
15. ∃e':E. ((e' <loc e) c∧ (R[e'] ∧ (∀e'':E. ((e' <loc e'') ⇒ (e'' <loc e) ⇒ ((¬P[e'']) ∧ (¬R[e'']))))))@i
⊢ ∃e'':E. (e' ≤loc e''  ∧ (e'' <loc e) ∧ R[e''])

---

Latex:



1.  es  :  EO@i'
2.  i  :  Id@i
3.  e  :  E@i
4.  [P]  :  \{e:E|  loc(e)  =  i\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
5.  [R]  :  \{e:E|  loc(e)  =  i\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
6.  \mforall{}e:E.  Dec(R[e])  supposing  loc(e)  =  i@i
7.  loc(e)  =  i@i
8.  P[e]@i
9.  \mneg{}R[e]@i
10.  (\mexists{}e'':E.  ((e''  <loc  e)  c\mwedge{}  P[e'']))
{}\mRightarrow{}  (\mexists{}e':E
          ((e'  <loc  e)
          c\mwedge{}  (R[e']  \mwedge{}  (\mforall{}e'':E.  ((e'  <loc  e'')  {}\mRightarrow{}  (e''  <loc  e)  {}\mRightarrow{}  ((\mneg{}P[e''])  \mwedge{}  (\mneg{}R[e''])))))))@i
11.  P[e]
12.  \mneg{}R[e]
13.  e'  :  E@i
14.  (e'  <loc  e)@i
15.  P[e']@i
\mvdash{}  \mexists{}e'':E.  (e'  \mleq{}loc  e''    \mwedge{}  (e''  <loc  e)  \mwedge{}  R[e''])


By

D  10

---

Home Index