---

Step * 1 1 2 1 2 2 1 1 of Lemma es-pplus-alle-between2

.....subterm..... T:t
1:n
1. es : EO@i'
2. e1 : E@i
3. e2 : {e:E| loc(e) = loc(e1) ∈ Id} @i
4. Q : {e:E| loc(e) = loc(e1) ∈ Id}  ─→ ℙ
5. m : ℕ+@i
6. f : ℕm ─→ {e:E| loc(e) = loc(e1) ∈ Id} @i
7. (f 0) = e1 ∈ E@i
8. f (m - 1) ≤loc e2 @i
9. ∀i:ℕm - 1. (f i <loc f (i + 1))@i
10. ∀i:ℕm - 1. ∀e∈[f i,pred(f (i + 1))].Q[e]@i
11. ∀e∈[f (m - 1),e2].Q[e]@i
12. e1 ≤loc e2 
13. e : E@i
14. e1 ≤loc e @i
15. e ≤loc e2 @i
16. ∀i:ℕm - 1. (¬↑first(f (i + 1)))
17. ¬(m = 1 ∈ ℤ)
18. ∀i:ℕm. ∀j:ℕi.  (f j <loc f i)
19. [e1, e2] = ([e1, pred(f (m - 1))] @ [f (m - 1), e2]) ∈ (E List)
⊢ concat(map(λi.[f i, pred(f (i + 1))];upto(m - 1))) = [e1, pred(f (m - 1))] ∈ (E List)
BY
{ ((GenConcl ⌈(m - 1) = j ∈ ℕ⌉⋅ THENA Auto)
   THEN Assert ⌈j < m ∧ 0 < j⌉⋅
   THEN Auto'
   THEN (Thin (-3))
   THEN (NatInd (-3))
   THEN Auto) }

1
1. es : EO@i'
2. e1 : E@i
3. e2 : {e:E| loc(e) = loc(e1) ∈ Id} @i
4. Q : {e:E| loc(e) = loc(e1) ∈ Id}  ─→ ℙ
5. m : ℕ+@i
6. f : ℕm ─→ {e:E| loc(e) = loc(e1) ∈ Id} @i
7. (f 0) = e1 ∈ E@i
8. f (m - 1) ≤loc e2 @i
9. ∀i:ℕm - 1. (f i <loc f (i + 1))@i
10. ∀i:ℕm - 1. ∀e∈[f i,pred(f (i + 1))].Q[e]@i
11. ∀e∈[f (m - 1),e2].Q[e]@i
12. e1 ≤loc e2 
13. e : E@i
14. e1 ≤loc e @i
15. e ≤loc e2 @i
16. ∀i:ℕm - 1. (¬↑first(f (i + 1)))
17. ¬(m = 1 ∈ ℤ)
18. ∀i:ℕm. ∀j:ℕi.  (f j <loc f i)
19. [e1, e2] = ([e1, pred(f (m - 1))] @ [f (m - 1), e2]) ∈ (E List)
20. j : ℤ
21. 0 < j
22. j - 1 < m ⇒ 0 < j - 1 ⇒ (concat(map(λi.[f i, pred(f (i + 1))];upto(j - 1))) = [e1, pred(f (j - 1))] ∈ (E List))
23. j < m@i
24. 0 < j@i
⊢ concat(map(λi.[f i, pred(f (i + 1))];upto(j))) = [e1, pred(f j)] ∈ (E List)

---

Latex:


.....subterm.....  T:t
1:n
1.  es  :  EO@i'
2.  e1  :  E@i
3.  e2  :  \{e:E|  loc(e)  =  loc(e1)\}  @i
4.  Q  :  \{e:E|  loc(e)  =  loc(e1)\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
5.  m  :  \mBbbN{}\msupplus{}@i
6.  f  :  \mBbbN{}m  {}\mrightarrow{}  \{e:E|  loc(e)  =  loc(e1)\}  @i
7.  (f  0)  =  e1@i
8.  f  (m  -  1)  \mleq{}loc  e2  @i
9.  \mforall{}i:\mBbbN{}m  -  1.  (f  i  <loc  f  (i  +  1))@i
10.  \mforall{}i:\mBbbN{}m  -  1.  \mforall{}e\mmember{}[f  i,pred(f  (i  +  1))].Q[e]@i
11.  \mforall{}e\mmember{}[f  (m  -  1),e2].Q[e]@i
12.  e1  \mleq{}loc  e2 
13.  e  :  E@i
14.  e1  \mleq{}loc  e  @i
15.  e  \mleq{}loc  e2  @i
16.  \mforall{}i:\mBbbN{}m  -  1.  (\mneg{}\muparrow{}first(f  (i  +  1)))
17.  \mneg{}(m  =  1)
18.  \mforall{}i:\mBbbN{}m.  \mforall{}j:\mBbbN{}i.    (f  j  <loc  f  i)
19.  [e1,  e2]  =  ([e1,  pred(f  (m  -  1))]  @  [f  (m  -  1),  e2])
\mvdash{}  concat(map(\mlambda{}i.[f  i,  pred(f  (i  +  1))];upto(m  -  1)))  =  [e1,  pred(f  (m  -  1))]


By

((GenConcl  \mkleeneopen{}(m  -  1)  =  j\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  Assert  \mkleeneopen{}j  <  m  \mwedge{}  0  <  j\mkleeneclose{}\mcdot{}
  THEN  Auto'
  THEN  (Thin  (-3))
  THEN  (NatInd  (-3))
  THEN  Auto)

---

Home Index