Step * 2 of Lemma es-pstar-q_functionality_wrt_implies


1. es EO@i'
2. e1 E@i
3. e2 {e:E| loc(e) loc(e1) ∈ Id} @i
4. [p] {e:E| loc(e) loc(e1) ∈ Id}  ─→ {e:E| loc(e) loc(e1) ∈ Id}  ─→ ℙ
5. [q] {e:E| loc(e) loc(e1) ∈ Id}  ─→ {e:E| loc(e) loc(e1) ∈ Id}  ─→ ℙ
6. [p'] {e:E| loc(e) loc(e1) ∈ Id}  ─→ {e:E| loc(e) loc(e1) ∈ Id}  ─→ ℙ
7. [q'] {e:E| loc(e) loc(e1) ∈ Id}  ─→ {e:E| loc(e) loc(e1) ∈ Id}  ─→ ℙ
8. ∀a,b:{e:E| loc(e) loc(e1) ∈ Id} .  ((a ∈ [e1, e2])  (b ∈ [e1, e2])  p[a;b]  p'[a;b])@i
9. ∀a,b:{e:E| loc(e) loc(e1) ∈ Id} .  ((a ∈ [e1, e2])  (b ∈ [e1, e2])  q[a;b]  q'[a;b])@i
10. [e1;e2]~([a,b].p[a;b])*[a,b].q[a;b] ∈ ℙ
11. [e1;e2]~([a,b].p'[a;b])*[a,b].q'[a;b] ∈ ℙ
12. : ℕ+
13. : ℕm ─→ {e:E| loc(e) loc(e1) ∈ Id} 
14. (f 0) e1 ∈ E
15. (m 1) ≤loc e2 
16. ∀i:ℕ1. (f i <loc (i 1))
17. ∀i:ℕ1. p[f i;pred(f (i 1))]
18. q[f (m 1);e2]
19. (f 0) e1 ∈ E
20. (m 1) ≤loc e2 
21. ∀i:ℕ1. (f i <loc (i 1))
22. : ℕ1@i
⊢ (pred(f (i 1)) ∈ [e1, e2])
BY
(((InstHyp [⌈i⌉(-2))⋅
    THENM (InstLemma `es-increasing-sequence2` [⌈es⌉; ⌈m⌉; ⌈f⌉])⋅
    THENM (InstHyp [⌈i⌉; ⌈0⌉(-1))⋅
    THENM (InstHyp [⌈1⌉; ⌈1⌉(-2))⋅)
   THENA Auto
   }

1
1. es EO@i'
2. e1 E@i
3. e2 {e:E| loc(e) loc(e1) ∈ Id} @i
4. [p] {e:E| loc(e) loc(e1) ∈ Id}  ─→ {e:E| loc(e) loc(e1) ∈ Id}  ─→ ℙ
5. [q] {e:E| loc(e) loc(e1) ∈ Id}  ─→ {e:E| loc(e) loc(e1) ∈ Id}  ─→ ℙ
6. [p'] {e:E| loc(e) loc(e1) ∈ Id}  ─→ {e:E| loc(e) loc(e1) ∈ Id}  ─→ ℙ
7. [q'] {e:E| loc(e) loc(e1) ∈ Id}  ─→ {e:E| loc(e) loc(e1) ∈ Id}  ─→ ℙ
8. ∀a,b:{e:E| loc(e) loc(e1) ∈ Id} .  ((a ∈ [e1, e2])  (b ∈ [e1, e2])  p[a;b]  p'[a;b])@i
9. ∀a,b:{e:E| loc(e) loc(e1) ∈ Id} .  ((a ∈ [e1, e2])  (b ∈ [e1, e2])  q[a;b]  q'[a;b])@i
10. [e1;e2]~([a,b].p[a;b])*[a,b].q[a;b] ∈ ℙ
11. [e1;e2]~([a,b].p'[a;b])*[a,b].q'[a;b] ∈ ℙ
12. : ℕ+
13. : ℕm ─→ {e:E| loc(e) loc(e1) ∈ Id} 
14. (f 0) e1 ∈ E
15. (m 1) ≤loc e2 
16. ∀i:ℕ1. (f i <loc (i 1))
17. ∀i:ℕ1. p[f i;pred(f (i 1))]
18. q[f (m 1);e2]
19. (f 0) e1 ∈ E
20. (m 1) ≤loc e2 
21. ∀i:ℕ1. (f i <loc (i 1))
22. : ℕ1@i
23. (f i <loc (i 1))
24. ∀i:ℕm. ∀j:ℕ1.  j ≤loc 
25. 0 ≤loc 
26. (i 1) ≤loc (m 1) 
⊢ (pred(f (i 1)) ∈ [e1, e2])


Latex:



1.  es  :  EO@i'
2.  e1  :  E@i
3.  e2  :  \{e:E|  loc(e)  =  loc(e1)\}  @i
4.  [p]  :  \{e:E|  loc(e)  =  loc(e1)\}    {}\mrightarrow{}  \{e:E|  loc(e)  =  loc(e1)\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
5.  [q]  :  \{e:E|  loc(e)  =  loc(e1)\}    {}\mrightarrow{}  \{e:E|  loc(e)  =  loc(e1)\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
6.  [p']  :  \{e:E|  loc(e)  =  loc(e1)\}    {}\mrightarrow{}  \{e:E|  loc(e)  =  loc(e1)\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
7.  [q']  :  \{e:E|  loc(e)  =  loc(e1)\}    {}\mrightarrow{}  \{e:E|  loc(e)  =  loc(e1)\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
8.  \mforall{}a,b:\{e:E|  loc(e)  =  loc(e1)\}  .    ((a  \mmember{}  [e1,  e2])  {}\mRightarrow{}  (b  \mmember{}  [e1,  e2])  {}\mRightarrow{}  p[a;b]  {}\mRightarrow{}  p'[a;b])@i
9.  \mforall{}a,b:\{e:E|  loc(e)  =  loc(e1)\}  .    ((a  \mmember{}  [e1,  e2])  {}\mRightarrow{}  (b  \mmember{}  [e1,  e2])  {}\mRightarrow{}  q[a;b]  {}\mRightarrow{}  q'[a;b])@i
10.  [e1;e2]\msim{}([a,b].p[a;b])*[a,b].q[a;b]  \mmember{}  \mBbbP{}
11.  [e1;e2]\msim{}([a,b].p'[a;b])*[a,b].q'[a;b]  \mmember{}  \mBbbP{}
12.  m  :  \mBbbN{}\msupplus{}
13.  f  :  \mBbbN{}m  {}\mrightarrow{}  \{e:E|  loc(e)  =  loc(e1)\} 
14.  (f  0)  =  e1
15.  f  (m  -  1)  \mleq{}loc  e2 
16.  \mforall{}i:\mBbbN{}m  -  1.  (f  i  <loc  f  (i  +  1))
17.  \mforall{}i:\mBbbN{}m  -  1.  p[f  i;pred(f  (i  +  1))]
18.  q[f  (m  -  1);e2]
19.  (f  0)  =  e1
20.  f  (m  -  1)  \mleq{}loc  e2 
21.  \mforall{}i:\mBbbN{}m  -  1.  (f  i  <loc  f  (i  +  1))
22.  i  :  \mBbbN{}m  -  1@i
\mvdash{}  (pred(f  (i  +  1))  \mmember{}  [e1,  e2])


By

(((InstHyp  [\mkleeneopen{}i\mkleeneclose{}]  (-2))\mcdot{}
    THENM  (InstLemma  `es-increasing-sequence2`  [\mkleeneopen{}es\mkleeneclose{};  \mkleeneopen{}m\mkleeneclose{};  \mkleeneopen{}f\mkleeneclose{}])\mcdot{}
    THENM  (InstHyp  [\mkleeneopen{}i\mkleeneclose{};  \mkleeneopen{}0\mkleeneclose{}]  (-1))\mcdot{}
    THENM  (InstHyp  [\mkleeneopen{}m  -  1\mkleeneclose{};  \mkleeneopen{}i  +  1\mkleeneclose{}]  (-2))\mcdot{})
  THENA  Auto
  )




Home Index