---

Step * 4 of Lemma es-pstar-q_functionality_wrt_implies


1. es : EO@i'
2. e1 : E@i
3. e2 : {e:E| loc(e) = loc(e1) ∈ Id} @i
4. [p] : {e:E| loc(e) = loc(e1) ∈ Id}  ─→ {e:E| loc(e) = loc(e1) ∈ Id}  ─→ ℙ
5. [q] : {e:E| loc(e) = loc(e1) ∈ Id}  ─→ {e:E| loc(e) = loc(e1) ∈ Id}  ─→ ℙ
6. [p'] : {e:E| loc(e) = loc(e1) ∈ Id}  ─→ {e:E| loc(e) = loc(e1) ∈ Id}  ─→ ℙ
7. [q'] : {e:E| loc(e) = loc(e1) ∈ Id}  ─→ {e:E| loc(e) = loc(e1) ∈ Id}  ─→ ℙ
8. ∀a,b:{e:E| loc(e) = loc(e1) ∈ Id} .  ((a ∈ [e1, e2]) ⇒ (b ∈ [e1, e2]) ⇒ p[a;b] ⇒ p'[a;b])@i
9. ∀a,b:{e:E| loc(e) = loc(e1) ∈ Id} .  ((a ∈ [e1, e2]) ⇒ (b ∈ [e1, e2]) ⇒ q[a;b] ⇒ q'[a;b])@i
10. [e1;e2]~([a,b].p[a;b])*[a,b].q[a;b] ∈ ℙ
11. [e1;e2]~([a,b].p'[a;b])*[a,b].q'[a;b] ∈ ℙ
12. m : ℕ+
13. f : ℕm ─→ {e:E| loc(e) = loc(e1) ∈ Id} 
14. (f 0) = e1 ∈ E
15. f (m - 1) ≤loc e2 
16. ∀i:ℕm - 1. (f i <loc f (i + 1))
17. ∀i:ℕm - 1. p[f i;pred(f (i + 1))]
18. q[f (m - 1);e2]
19. (f 0) = e1 ∈ E
20. f (m - 1) ≤loc e2 
21. ∀i:ℕm - 1. (f i <loc f (i + 1))
22. ∀i:ℕm - 1. p'[f i;pred(f (i + 1))]
⊢ (e2 ∈ [e1, e2])
BY
{ (((((InstLemma `es-increasing-sequence2` [⌈es⌉; ⌈m⌉; ⌈f⌉])⋅ THENA Auto) THEN (InstHyp [⌈m - 1⌉; ⌈0⌉] (-1))⋅)
    THENA Auto
    )
   THEN RWO "member-es-interval" 0
   THEN Auto
   THEN Try ((WeakSubstFor ⌈e1⌉ 0⋅ THEN Auto))
   THEN (InstLemma `es-le-trans` [])
   THEN UseTrans ⌈f (m - 1)⌉⋅)⋅ }

---

Latex:



1.  es  :  EO@i'
2.  e1  :  E@i
3.  e2  :  \{e:E|  loc(e)  =  loc(e1)\}  @i
4.  [p]  :  \{e:E|  loc(e)  =  loc(e1)\}    {}\mrightarrow{}  \{e:E|  loc(e)  =  loc(e1)\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
5.  [q]  :  \{e:E|  loc(e)  =  loc(e1)\}    {}\mrightarrow{}  \{e:E|  loc(e)  =  loc(e1)\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
6.  [p']  :  \{e:E|  loc(e)  =  loc(e1)\}    {}\mrightarrow{}  \{e:E|  loc(e)  =  loc(e1)\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
7.  [q']  :  \{e:E|  loc(e)  =  loc(e1)\}    {}\mrightarrow{}  \{e:E|  loc(e)  =  loc(e1)\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
8.  \mforall{}a,b:\{e:E|  loc(e)  =  loc(e1)\}  .    ((a  \mmember{}  [e1,  e2])  {}\mRightarrow{}  (b  \mmember{}  [e1,  e2])  {}\mRightarrow{}  p[a;b]  {}\mRightarrow{}  p'[a;b])@i
9.  \mforall{}a,b:\{e:E|  loc(e)  =  loc(e1)\}  .    ((a  \mmember{}  [e1,  e2])  {}\mRightarrow{}  (b  \mmember{}  [e1,  e2])  {}\mRightarrow{}  q[a;b]  {}\mRightarrow{}  q'[a;b])@i
10.  [e1;e2]\msim{}([a,b].p[a;b])*[a,b].q[a;b]  \mmember{}  \mBbbP{}
11.  [e1;e2]\msim{}([a,b].p'[a;b])*[a,b].q'[a;b]  \mmember{}  \mBbbP{}
12.  m  :  \mBbbN{}\msupplus{}
13.  f  :  \mBbbN{}m  {}\mrightarrow{}  \{e:E|  loc(e)  =  loc(e1)\} 
14.  (f  0)  =  e1
15.  f  (m  -  1)  \mleq{}loc  e2 
16.  \mforall{}i:\mBbbN{}m  -  1.  (f  i  <loc  f  (i  +  1))
17.  \mforall{}i:\mBbbN{}m  -  1.  p[f  i;pred(f  (i  +  1))]
18.  q[f  (m  -  1);e2]
19.  (f  0)  =  e1
20.  f  (m  -  1)  \mleq{}loc  e2 
21.  \mforall{}i:\mBbbN{}m  -  1.  (f  i  <loc  f  (i  +  1))
22.  \mforall{}i:\mBbbN{}m  -  1.  p'[f  i;pred(f  (i  +  1))]
\mvdash{}  (e2  \mmember{}  [e1,  e2])


By

(((((InstLemma  `es-increasing-sequence2`  [\mkleeneopen{}es\mkleeneclose{};  \mkleeneopen{}m\mkleeneclose{};  \mkleeneopen{}f\mkleeneclose{}])\mcdot{}  THENA  Auto)
      THEN  (InstHyp  [\mkleeneopen{}m  -  1\mkleeneclose{};  \mkleeneopen{}0\mkleeneclose{}]  (-1))\mcdot{}
      )
    THENA  Auto
    )
  THEN  RWO  "member-es-interval"  0
  THEN  Auto
  THEN  Try  ((WeakSubstFor  \mkleeneopen{}e1\mkleeneclose{}  0\mcdot{}  THEN  Auto))
  THEN  (InstLemma  `es-le-trans`  [])
  THEN  UseTrans  \mkleeneopen{}f  (m  -  1)\mkleeneclose{}\mcdot{})\mcdot{}

---

Home Index