---

Step * of Lemma weak-antecedent-function_functionality_wrt_pred_equiv

∀es:EO. ∀[P,Q,P',Q':E ─→ ℙ].  ∀f:{e:E| P e}  ─→ {e:E| Q e} . (P ⇐⇒ P' ⇒ Q ⇐⇒ Q' ⇒ (Q ←==f== P ⇐⇒ Q' ←==f== P'))
BY
{ (Unfold `predicate_equivalent` 0 THEN Auto) }

1
1. es : EO@i'
2. [P] : E ─→ ℙ
3. [Q] : E ─→ ℙ
4. [P'] : E ─→ ℙ
5. [Q'] : E ─→ ℙ
6. f : {e:E| P e}  ─→ {e:E| Q e} @i
7. ∀x:E. (P x ⇐⇒ P' x)@i
8. ∀x:E. (Q x ⇐⇒ Q' x)@i
9. Q ←==f== P@i
⊢ Q' ←==f== P'

2
1. es : EO@i'
2. [P] : E ─→ ℙ
3. [Q] : E ─→ ℙ
4. [P'] : E ─→ ℙ
5. [Q'] : E ─→ ℙ
6. f : {e:E| P e}  ─→ {e:E| Q e} @i
7. ∀x:E. (P x ⇐⇒ P' x)@i
8. ∀x:E. (Q x ⇐⇒ Q' x)@i
9. Q' ←==f== P'@i
⊢ Q ←==f== P

---

Latex:


\mforall{}es:EO
    \mforall{}[P,Q,P',Q':E  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}].
        \mforall{}f:\{e:E|  P  e\}    {}\mrightarrow{}  \{e:E|  Q  e\}  .  (P  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  P'  {}\mRightarrow{}  Q  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  Q'  {}\mRightarrow{}  (Q  \mleftarrow{}==f==  P  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  Q'  \mleftarrow{}==f==  P'))


By

(Unfold  `predicate\_equivalent`  0  THEN  Auto)

---

Home Index