---

Step * 2 of Lemma weak-antecedent-surjection-conditional


1. es : EO@i'
2. [P1] : E ─→ ℙ
3. [Q1] : E ─→ ℙ
4. [P2] : E ─→ ℙ
5. [Q2] : E ─→ ℙ
6. dcd_P1 : e:E ─→ Dec(P1 e)@i
7. f : {e:E| P1 e}  ─→ {e:E| Q1 e} @i
8. g : {e:E| P2 e}  ─→ {e:E| Q2 e} @i
9. ∀e:E. ((P1 e) ⇒ (¬(P2 e)))
10. ∀e:E. Dec(Q1 e)@i
11. ∀e:E. Dec(Q2 e)@i
12. Q1 ←==f== P1@i
13. ∀e:{e:E| Q1 e} . ∃e':{e:E| P1 e} . ((f e') = e ∈ E)@i
14. Q2 ←==g== P2@i
15. ∀e:{e:E| Q2 e} . ∃e':{e:E| P2 e} . ((g e') = e ∈ E)@i
⊢ ∀e:{e:E| (λe.((Q1 e) ∨ (Q2 e))) e} . ∃e':{e:E| (λe.((P1 e) ∨ (P2 e))) e} . (([P1? f : g] e') = e ∈ E)
BY
{ ((Reduce 0 THEN D 0) THENA Auto) }

1
1. es : EO@i'
2. [P1] : E ─→ ℙ
3. [Q1] : E ─→ ℙ
4. [P2] : E ─→ ℙ
5. [Q2] : E ─→ ℙ
6. dcd_P1 : e:E ─→ Dec(P1 e)@i
7. f : {e:E| P1 e}  ─→ {e:E| Q1 e} @i
8. g : {e:E| P2 e}  ─→ {e:E| Q2 e} @i
9. ∀e:E. ((P1 e) ⇒ (¬(P2 e)))
10. ∀e:E. Dec(Q1 e)@i
11. ∀e:E. Dec(Q2 e)@i
12. Q1 ←==f== P1@i
13. ∀e:{e:E| Q1 e} . ∃e':{e:E| P1 e} . ((f e') = e ∈ E)@i
14. Q2 ←==g== P2@i
15. ∀e:{e:E| Q2 e} . ∃e':{e:E| P2 e} . ((g e') = e ∈ E)@i
16. e : {e:E| (Q1 e) ∨ (Q2 e)} @i
⊢ ∃e':{e:E| (P1 e) ∨ (P2 e)} . (([P1? f : g] e') = e ∈ E)

---

Latex:



1.  es  :  EO@i'
2.  [P1]  :  E  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
3.  [Q1]  :  E  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
4.  [P2]  :  E  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
5.  [Q2]  :  E  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
6.  dcd$_{P1}$  :  e:E  {}\mrightarrow{}  Dec(P1  e)@i
7.  f  :  \{e:E|  P1  e\}    {}\mrightarrow{}  \{e:E|  Q1  e\}  @i
8.  g  :  \{e:E|  P2  e\}    {}\mrightarrow{}  \{e:E|  Q2  e\}  @i
9.  \mforall{}e:E.  ((P1  e)  {}\mRightarrow{}  (\mneg{}(P2  e)))
10.  \mforall{}e:E.  Dec(Q1  e)@i
11.  \mforall{}e:E.  Dec(Q2  e)@i
12.  Q1  \mleftarrow{}==f==  P1@i
13.  \mforall{}e:\{e:E|  Q1  e\}  .  \mexists{}e':\{e:E|  P1  e\}  .  ((f  e')  =  e)@i
14.  Q2  \mleftarrow{}==g==  P2@i
15.  \mforall{}e:\{e:E|  Q2  e\}  .  \mexists{}e':\{e:E|  P2  e\}  .  ((g  e')  =  e)@i
\mvdash{}  \mforall{}e:\{e:E|  (\mlambda{}e.((Q1  e)  \mvee{}  (Q2  e)))  e\}  .  \mexists{}e':\{e:E|  (\mlambda{}e.((P1  e)  \mvee{}  (P2  e)))  e\}  .  (([P1?  f  :  g]  e')  =  e)


By

((Reduce  0  THEN  D  0)  THENA  Auto)

---

Home Index