Step * 1 2 of Lemma pv11_p1-validity


1. Cmd {T:Type| valueall-type(T)} @i'
2. pv11_p1_headers_type{i:l}(Cmd)@i'
3. (f [decision]) (ℤ × Cmd) ∈ Type
4. (f [propose]) (ℤ × Cmd) ∈ Type
5. (f ``pv11_p1 adopted``) (pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List)) ∈ Type
6. (f ``pv11_p1 preempted``) pv11_p1_Ballot_Num() ∈ Type
7. (f ``pv11_p1 p2b``) (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × pv11_p1_Ballot_Num()) ∈ Type
8. (f ``pv11_p1 p2a``) (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) ∈ Type
9. (f ``pv11_p1 p1b``)
(Id × pv11_p1_Ballot_Num() × pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List))
∈ Type
10. (f ``pv11_p1 p1a``) (Id × pv11_p1_Ballot_Num()) ∈ Type
11. f ∈ Name ─→ Type
12. es EO+(Message(f))@i'
13. accpts bag(Id)@i
14. ldrs bag(Id)@i
15. ldrs_uid Id ─→ ℤ@i
16. reps bag(Id)@i
17. pv11_p1_message-constraint{paxos-v11-part1.esh:o}(Cmd; accpts; ldrs; ldrs_uid; reps; f; es)@i
18. E@i
19. Id@i
20. p1 : ℤ@i
21. p2 Cmd@i
22. loc(e) ↓∈ ldrs
23. e' {e':E| e' ≤loc 
24. header(e) ``pv11_p1 p2b`` ∈ Name
25. has-es-info-type(es;e;f;Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × pv11_p1_Ballot_Num())
26. 0 ∈ ℤ
27. (fst(snd(msgval(e)))) (snd(snd(snd(msgval(e))))) ∈ pv11_p1_Ballot_Num()
28. #(pv11_p1_CommanderStateFun(Cmd;accpts;f;fst(snd(msgval(e)));fst(snd(snd(msgval(e))));es.e';e)) < ...
29. i ↓∈ reps
30. ff pv11_p1_init_active()
31. p1 (fst(snd(snd(msgval(e))))) ∈ ℤ
32. header(e') ``pv11_p1 adopted`` ∈ Name
33. has-es-info-type(es;e';f;pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List))
34. (fst(msgval(e'))) (fst(pv11_p1_LeaderStateFun(Cmd;ldrs_uid;f;es;e'))) ∈ pv11_p1_Ballot_Num()
35. <fst(snd(snd(msgval(e)))), p2> ↓∈ snd(snd(pv11_p1_LeaderStateFun(Cmd;ldrs_uid;f;es;e')))
36. ¬(∃p2:Cmd. (<fst(snd(snd(msgval(e)))), p2> ∈ pv11_p1_pmax(Cmd;ldrs_uid) (snd(msgval(e')))))
37. (fst(snd(msgval(e)))) (fst(msgval(e'))) ∈ pv11_p1_Ballot_Num()
38. (no ((pv11_p1_commander_output(Cmd;accpts;reps;f) <fst(snd(msgval(e))), fst(snd(snd(msgval(e)))), p2> pv11_p1_p2b'\000Cbase(Cmd;f)) o
        pv11_p1_CommanderState(Cmd;accpts;f) (fst(snd(msgval(e)))) (fst(snd(snd(msgval(e)))))) between e' and e)
39. ∀e:E
      (pv11_p1_valid-AcceptorState(Cmd;ldrs_uid;es;e;f)
      ∧ pv11_p1_valid-LeaderState(Cmd;ldrs_uid;es;e;f)
      ∧ (∀b:pv11_p1_Ballot_Num(). ∀start:E.  (start ≤loc e   pv11_p1_valid-ScoutState(Cmd;accpts;b;start;es;e;f)))
      ∧ ((header(e) ``pv11_p1 adopted`` ∈ Name)
         has-es-info-type(es;e;f;pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List))
         pv11_p1_valid-adopted-message(Cmd;es;e;f))
      ∧ ((header(e) ``pv11_p1 p1b`` ∈ Name)
         has-es-info-type(es;e;f;Id
           × pv11_p1_Ballot_Num()
           × pv11_p1_Ballot_Num()
           × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List))
         pv11_p1_valid-p1b-message(Cmd;es;e;f))
      ∧ ((header(e) ``pv11_p1 p2a`` ∈ Name)
         has-es-info-type(es;e;f;Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd)
         pv11_p1_valid-p2a-message(Cmd;es;e;f)))
⊢ pv11_p1_valid-proposal(Cmd;es;e;<p1, p2>;f)
BY
(Thin (-2) THEN (Assert <p1, p2> ↓∈ snd(snd(pv11_p1_LeaderStateFun(Cmd;ldrs_uid;f;es;e'))) BY Auto)) }

1
1. Cmd {T:Type| valueall-type(T)} @i'
2. pv11_p1_headers_type{i:l}(Cmd)@i'
3. (f [decision]) (ℤ × Cmd) ∈ Type
4. (f [propose]) (ℤ × Cmd) ∈ Type
5. (f ``pv11_p1 adopted``) (pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List)) ∈ Type
6. (f ``pv11_p1 preempted``) pv11_p1_Ballot_Num() ∈ Type
7. (f ``pv11_p1 p2b``) (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × pv11_p1_Ballot_Num()) ∈ Type
8. (f ``pv11_p1 p2a``) (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) ∈ Type
9. (f ``pv11_p1 p1b``)
(Id × pv11_p1_Ballot_Num() × pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List))
∈ Type
10. (f ``pv11_p1 p1a``) (Id × pv11_p1_Ballot_Num()) ∈ Type
11. f ∈ Name ─→ Type
12. es EO+(Message(f))@i'
13. accpts bag(Id)@i
14. ldrs bag(Id)@i
15. ldrs_uid Id ─→ ℤ@i
16. reps bag(Id)@i
17. pv11_p1_message-constraint{paxos-v11-part1.esh:o}(Cmd; accpts; ldrs; ldrs_uid; reps; f; es)@i
18. E@i
19. Id@i
20. p1 : ℤ@i
21. p2 Cmd@i
22. loc(e) ↓∈ ldrs
23. e' {e':E| e' ≤loc 
24. header(e) ``pv11_p1 p2b`` ∈ Name
25. has-es-info-type(es;e;f;Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × pv11_p1_Ballot_Num())
26. 0 ∈ ℤ
27. (fst(snd(msgval(e)))) (snd(snd(snd(msgval(e))))) ∈ pv11_p1_Ballot_Num()
28. #(pv11_p1_CommanderStateFun(Cmd;accpts;f;fst(snd(msgval(e)));fst(snd(snd(msgval(e))));es.e';e)) < ...
29. i ↓∈ reps
30. ff pv11_p1_init_active()
31. p1 (fst(snd(snd(msgval(e))))) ∈ ℤ
32. header(e') ``pv11_p1 adopted`` ∈ Name
33. has-es-info-type(es;e';f;pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List))
34. (fst(msgval(e'))) (fst(pv11_p1_LeaderStateFun(Cmd;ldrs_uid;f;es;e'))) ∈ pv11_p1_Ballot_Num()
35. <fst(snd(snd(msgval(e)))), p2> ↓∈ snd(snd(pv11_p1_LeaderStateFun(Cmd;ldrs_uid;f;es;e')))
36. ¬(∃p2:Cmd. (<fst(snd(snd(msgval(e)))), p2> ∈ pv11_p1_pmax(Cmd;ldrs_uid) (snd(msgval(e')))))
37. (fst(snd(msgval(e)))) (fst(msgval(e'))) ∈ pv11_p1_Ballot_Num()
38. ∀e:E
      (pv11_p1_valid-AcceptorState(Cmd;ldrs_uid;es;e;f)
      ∧ pv11_p1_valid-LeaderState(Cmd;ldrs_uid;es;e;f)
      ∧ (∀b:pv11_p1_Ballot_Num(). ∀start:E.  (start ≤loc e   pv11_p1_valid-ScoutState(Cmd;accpts;b;start;es;e;f)))
      ∧ ((header(e) ``pv11_p1 adopted`` ∈ Name)
         has-es-info-type(es;e;f;pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List))
         pv11_p1_valid-adopted-message(Cmd;es;e;f))
      ∧ ((header(e) ``pv11_p1 p1b`` ∈ Name)
         has-es-info-type(es;e;f;Id
           × pv11_p1_Ballot_Num()
           × pv11_p1_Ballot_Num()
           × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List))
         pv11_p1_valid-p1b-message(Cmd;es;e;f))
      ∧ ((header(e) ``pv11_p1 p2a`` ∈ Name)
         has-es-info-type(es;e;f;Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd)
         pv11_p1_valid-p2a-message(Cmd;es;e;f)))
39. <p1, p2> ↓∈ snd(snd(pv11_p1_LeaderStateFun(Cmd;ldrs_uid;f;es;e')))
⊢ pv11_p1_valid-proposal(Cmd;es;e;<p1, p2>;f)


Latex:



Latex:

1.  Cmd  :  \{T:Type|  valueall-type(T)\}  @i'
2.  f  :  pv11\_p1\_headers\_type\{i:l\}(Cmd)@i'
3.  (f  [decision])  =  (\mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)
4.  (f  [propose])  =  (\mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)
5.  (f  ``pv11\_p1  adopted``)  =  (pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  ((pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)  List))
6.  (f  ``pv11\_p1  preempted``)  =  pv11\_p1\_Ballot\_Num()
7.  (f  ``pv11\_p1  p2b``)  =  (Id  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num())
8.  (f  ``pv11\_p1  p2a``)  =  (Id  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)
9.  (f  ``pv11\_p1  p1b``)
=  (Id  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  ((pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)  List))
10.  (f  ``pv11\_p1  p1a``)  =  (Id  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num())
11.  f  \mmember{}  Name  {}\mrightarrow{}  Type
12.  es  :  EO+(Message(f))@i'
13.  accpts  :  bag(Id)@i
14.  ldrs  :  bag(Id)@i
15.  ldrs$_{uid}$  :  Id  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}@i
16.  reps  :  bag(Id)@i
17.  pv11\_p1\_message-constraint\{paxos-v11-part1.esh:o\}(Cmd;  accpts;  ldrs;  ldrs$_{uid}\000C$;  reps;  f;  es)@i
18.  e  :  E@i
19.  i  :  Id@i
20.  p1  :  \mBbbZ{}@i
21.  p2  :  Cmd@i
22.  loc(e)  \mdownarrow{}\mmember{}  ldrs
23.  e'  :  \{e':E|  e'  \mleq{}loc  e  \} 
24.  header(e)  =  ``pv11\_p1  p2b``
25.  has-es-info-type(es;e;f;Id  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num())
26.  0  =  0
27.  (fst(snd(msgval(e))))  =  (snd(snd(snd(msgval(e)))))
28.  \#(pv11\_p1\_CommanderStateFun(Cmd;accpts;f;fst(snd(msgval(e)));fst(snd(snd(...)));es.e';e))  <  ...
29.  i  \mdownarrow{}\mmember{}  reps
30.  ff  =  pv11\_p1\_init\_active()
31.  p1  =  (fst(snd(snd(msgval(e)))))
32.  header(e')  =  ``pv11\_p1  adopted``
33.  has-es-info-type(es;e';f;pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  ((pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)  List))
34.  (fst(msgval(e')))  =  (fst(pv11\_p1\_LeaderStateFun(Cmd;ldrs$_{uid}$;f;es;e')))
35.  <fst(snd(snd(msgval(e)))),  p2>  \mdownarrow{}\mmember{}  snd(snd(pv11\_p1\_LeaderStateFun(Cmd;ldrs$_{uid}\000C$;f;es;e')))
36.  \mneg{}(\mexists{}p2:Cmd.  (<fst(snd(snd(msgval(e)))),  p2>  \mmember{}  pv11\_p1\_pmax(Cmd;ldrs$_{uid}$)  \000C(snd(msgval(e')))))
37.  (fst(snd(msgval(e))))  =  (fst(msgval(e')))
38.  (no  ((pv11\_p1\_commander\_output(Cmd;accpts;reps;f) 
                    <fst(snd(msgval(e))),  fst(snd(snd(msgval(e)))),  p2>  o  pv11\_p1\_p2b'base(Cmd;f))  o
                pv11\_p1\_CommanderState(Cmd;accpts;f)  (fst(snd(msgval(e))))  (fst(snd(snd(msgval(e))))))
          between  e'  and  e)
39.  \mforall{}e:E
            (pv11\_p1\_valid-AcceptorState(Cmd;ldrs$_{uid}$;es;e;f)
            \mwedge{}  pv11\_p1\_valid-LeaderState(Cmd;ldrs$_{uid}$;es;e;f)
            \mwedge{}  (\mforall{}b:pv11\_p1\_Ballot\_Num().  \mforall{}start:E.
                      (start  \mleq{}loc  e    {}\mRightarrow{}  pv11\_p1\_valid-ScoutState(Cmd;accpts;b;start;es;e;f)))
            \mwedge{}  ((header(e)  =  ``pv11\_p1  adopted``)
                {}\mRightarrow{}  has-es-info-type(es;e;f;pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  ((pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)  List))
                {}\mRightarrow{}  pv11\_p1\_valid-adopted-message(Cmd;es;e;f))
            \mwedge{}  ((header(e)  =  ``pv11\_p1  p1b``)
                {}\mRightarrow{}  has-es-info-type(es;e;f;Id
                      \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num()
                      \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num()
                      \mtimes{}  ((pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)  List))
                {}\mRightarrow{}  pv11\_p1\_valid-p1b-message(Cmd;es;e;f))
            \mwedge{}  ((header(e)  =  ``pv11\_p1  p2a``)
                {}\mRightarrow{}  has-es-info-type(es;e;f;Id  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)
                {}\mRightarrow{}  pv11\_p1\_valid-p2a-message(Cmd;es;e;f)))
\mvdash{}  pv11\_p1\_valid-proposal(Cmd;es;e;<p1,  p2>f)


By


Latex:
(Thin  (-2)  THEN  (Assert  <p1,  p2>  \mdownarrow{}\mmember{}  snd(snd(pv11\_p1\_LeaderStateFun(Cmd;ldrs$_{uid}\mbackslash{}f\000Cf24;f;es;e')))  BY  Auto))




Home Index