---

Step * of Lemma pv11_p1_A5_C2

∀Cmd:ValueAllType. ∀f:pv11_p1_headers_type{i:l}(Cmd). ∀es:EO+(Message(f)). ∀e:E. ∀accpts,ldrs:bag(Id).
∀ldrs_uid:Id ─→ ℤ. ∀reps:bag(Id). ∀i,l:Id. ∀b,b':pv11_p1_Ballot_Num(). ∀s:ℤ. ∀p,p':Cmd. ∀as,cs:bag(Id).
  (pv11_p1_message-constraint{paxos-v11-part1.esh:o}(Cmd; accpts; ldrs; ldrs_uid; reps; f; es)
  ⇒ Inj(Id;ℤ;ldrs_uid)
  ⇒ (accpts = (as + cs) ∈ bag(Id))
  ⇒ #(as) < pv11_p1_threshold(accpts)
  ⇒ (∀a:Id
        (a ↓∈ cs ⇒ (↓∃e':E. ((a = loc(e') ∈ Id) ∧ (<b, s, p> ∈ snd(pv11_p1_AcceptorStateFun(Cmd;ldrs_uid;f;es;e')))))))
  ⇒ ((<b', s, p'> ∈ snd(pv11_p1_AcceptorStateFun(Cmd;ldrs_uid;f;es;e)))
     ∨ pv11_p1_p2a'send(Cmd;f) i <l, b', s, p'> ∈ pv11_p1_main(Cmd;accpts;ldrs;ldrs_uid;reps;f)(e))
  ⇒ (↑(b  < b'))
  ⇒ (p = p' ∈ Cmd))
BY
{ StartEmlProof }

1
1. Cmd : {T:Type| valueall-type(T)} @i'
2. f : pv11_p1_headers_type{i:l}(Cmd)@i'
3. (f [decision]) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
4. (f [propose]) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
5. (f ``pv11_p1 adopted``) = (pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List)) ∈ Type
6. (f ``pv11_p1 preempted``) = pv11_p1_Ballot_Num() ∈ Type
7. (f ``pv11_p1 p2b``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × pv11_p1_Ballot_Num()) ∈ Type
8. (f ``pv11_p1 p2a``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) ∈ Type
9. (f ``pv11_p1 p1b``)
= (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List))
∈ Type
10. (f ``pv11_p1 p1a``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num()) ∈ Type
11. f ∈ Name ─→ Type
12. es : EO+(Message(f))@i'
13. e : E@i
14. accpts : bag(Id)@i
15. ldrs : bag(Id)@i
16. ldrs_uid : Id ─→ ℤ@i
17. reps : bag(Id)@i
18. i : Id@i
19. l : Id@i
20. b : pv11_p1_Ballot_Num()@i
21. b' : pv11_p1_Ballot_Num()@i
22. s : ℤ@i
23. p : Cmd@i
24. p' : Cmd@i
25. as : bag(Id)@i
26. cs : bag(Id)@i
27. pv11_p1_message-constraint{paxos-v11-part1.esh:o}(Cmd; accpts; ldrs; ldrs_uid; reps; f; es)@i
28. Inj(Id;ℤ;ldrs_uid)@i
29. accpts = (as + cs) ∈ bag(Id)@i
30. #(as) < pv11_p1_threshold(accpts)@i
31. ∀a:Id
      (a ↓∈ cs ⇒ (↓∃e':E. ((a = loc(e') ∈ Id) ∧ (<b, s, p> ∈ snd(pv11_p1_AcceptorStateFun(Cmd;ldrs_uid;f;es;e'))))))@i
32. (<b', s, p'> ∈ snd(pv11_p1_AcceptorStateFun(Cmd;ldrs_uid;f;es;e)))
∨ pv11_p1_p2a'send(Cmd;f) i <l, b', s, p'> ∈ pv11_p1_main(Cmd;accpts;ldrs;ldrs_uid;reps;f)(e)@i
33. ↑(b  < b')@i
⊢ p = p' ∈ Cmd

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}Cmd:ValueAllType.  \mforall{}f:pv11\_p1\_headers\_type\{i:l\}(Cmd).  \mforall{}es:EO+(Message(f)).  \mforall{}e:E.
\mforall{}accpts,ldrs:bag(Id).  \mforall{}ldrs$_{uid}$:Id  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}.  \mforall{}reps:bag(Id).  \mforall{}i,l:Id.  \mforall{}b,b':pv11\_\000Cp1\_Ballot\_Num().  \mforall{}s:\mBbbZ{}.
\mforall{}p,p':Cmd.  \mforall{}as,cs:bag(Id).
    (pv11\_p1\_message-constraint\{paxos-v11-part1.esh:o\}(Cmd;  accpts;  ldrs;  ldrs$_{uid}\mbackslash{}\000Cff24;  reps;  f;  es)
    {}\mRightarrow{}  Inj(Id;\mBbbZ{};ldrs$_{uid}$)
    {}\mRightarrow{}  (accpts  =  (as  +  cs))
    {}\mRightarrow{}  \#(as)  <  pv11\_p1\_threshold(accpts)
    {}\mRightarrow{}  (\mforall{}a:Id
                (a  \mdownarrow{}\mmember{}  cs
                {}\mRightarrow{}  (\mdownarrow{}\mexists{}e':E
                            ((a  =  loc(e'))  \mwedge{}  (<b,  s,  p>  \mmember{}  snd(pv11\_p1\_AcceptorStateFun(Cmd;ldrs$_{uid\mbackslash{}\000Cff7d$;f;es;e')))))))
    {}\mRightarrow{}  ((<b',  s,  p'>  \mmember{}  snd(pv11\_p1\_AcceptorStateFun(Cmd;ldrs$_{uid}$;f;es;e)))
          \mvee{}  pv11\_p1\_p2a'send(Cmd;f)  i  <l,  b',  s,  p'>  \mmember{}  pv11\_p1\_main(Cmd;accpts;ldrs;ldrs$_{ui\000Cd}$;reps;f)(e))
    {}\mRightarrow{}  (\muparrow{}(b    <  b'))
    {}\mRightarrow{}  (p  =  p'))


By

---

Latex:
StartEmlProof

---

Home Index