---

Step * 3 of Lemma pv11_p1_acc_p2a


1. Cmd : {T:Type| valueall-type(T)} @i'
2. f : pv11_p1_headers_type{i:l}(Cmd)@i'
3. (f [decision]) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
4. (f [propose]) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
5. (f ``pv11_p1 adopted``) = (pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List)) ∈ Type
6. (f ``pv11_p1 preempted``) = pv11_p1_Ballot_Num() ∈ Type
7. (f ``pv11_p1 p2b``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × pv11_p1_Ballot_Num()) ∈ Type
8. (f ``pv11_p1 p2a``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) ∈ Type
9. (f ``pv11_p1 p1b``)
= (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List))
∈ Type
10. (f ``pv11_p1 p1a``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num()) ∈ Type
11. f ∈ Name ─→ Type
12. es : EO+(Message(f))@i'
13. e : E@i
14. ldrs_uid : Id ─→ ℤ@i
15. v1 : pv11_p1_Ballot_Num()@i
16. v2 : (pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List@i
17. b : pv11_p1_Ballot_Num()@i
18. s : ℤ@i
19. c : Cmd@i
20. <v1, v2> ∈
     State-loc-comb(λloc.{pv11_p1_init_acceptor(Cmd)};pv11_p1_on_p1a(Cmd;ldrs_uid) + pv11_p1_on_p2a(Cmd;ldrs_uid);...)(
     e)
21. y1 : Id@i
22. y3 : pv11_p1_Ballot_Num()@i
23. y5 : ℤ@i
24. y6 : Cmd@i
25. e' : E@i
26. y : 0 = 0 ∈ ℤ
27. s2 : (pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List@i
28. e' ≤loc e @i
29. inr <y1, y3, y5, y6>  ∈ pv11_p1_p1a'base(Cmd;f) (+) pv11_p1_p2a'base(Cmd;f)(e')@i
30. (inr Ax ) = pv11_p1_dummy_ballot() ∈ pv11_p1_Ballot_Num()
31. s2 = pv11_p1_init_accepted(Cmd) ∈ ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List)
32. (<b, s, c> ∈ s2) ⇒ (∃e':E. ∃l:Id. (e' ≤loc e  ∧ <l, b, s, c> ∈ pv11_p1_p2a'base(Cmd;f)(e')))@i
33. ¬(∃zzc:pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd. ((zzc ∈ s2) ∧ (↑(pv11_p1_same_pvalue(Cmd) <y3, y5, y6> zzc))))
34. b = y3 ∈ pv11_p1_Ballot_Num()
35. s = y5 ∈ ℤ
36. c = y6 ∈ Cmd
37. ↑first(e')
⊢ ∃e':E. ∃l:Id. (e' ≤loc e  ∧ <l, b, s, c> ∈ pv11_p1_p2a'base(Cmd;f)(e'))
BY
{ (MaUseClassRel (-9) THEN All Reduce THEN Auto THEN InstConcl [⌈e'⌉;⌈y1⌉]⋅ THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  Cmd  :  \{T:Type|  valueall-type(T)\}  @i'
2.  f  :  pv11\_p1\_headers\_type\{i:l\}(Cmd)@i'
3.  (f  [decision])  =  (\mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)
4.  (f  [propose])  =  (\mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)
5.  (f  ``pv11\_p1  adopted``)  =  (pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  ((pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)  List))
6.  (f  ``pv11\_p1  preempted``)  =  pv11\_p1\_Ballot\_Num()
7.  (f  ``pv11\_p1  p2b``)  =  (Id  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num())
8.  (f  ``pv11\_p1  p2a``)  =  (Id  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)
9.  (f  ``pv11\_p1  p1b``)
=  (Id  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  ((pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)  List))
10.  (f  ``pv11\_p1  p1a``)  =  (Id  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num())
11.  f  \mmember{}  Name  {}\mrightarrow{}  Type
12.  es  :  EO+(Message(f))@i'
13.  e  :  E@i
14.  ldrs$_{uid}$  :  Id  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}@i
15.  v1  :  pv11\_p1\_Ballot\_Num()@i
16.  v2  :  (pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)  List@i
17.  b  :  pv11\_p1\_Ballot\_Num()@i
18.  s  :  \mBbbZ{}@i
19.  c  :  Cmd@i
20.  <v1,  v2>  \mmember{}
          State-loc-comb(\mlambda{}loc.\{pv11\_p1\_init\_acceptor(Cmd)\};pv11\_p1\_on\_p1a(Cmd;ldrs$_{uid}\000C$)  +  ...;...)(e)
21.  y1  :  Id@i
22.  y3  :  pv11\_p1\_Ballot\_Num()@i
23.  y5  :  \mBbbZ{}@i
24.  y6  :  Cmd@i
25.  e'  :  E@i
26.  y  :  0  =  0
27.  s2  :  (pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)  List@i
28.  e'  \mleq{}loc  e  @i
29.  inr  <y1,  y3,  y5,  y6>    \mmember{}  pv11\_p1\_p1a'base(Cmd;f)  (+)  pv11\_p1\_p2a'base(Cmd;f)(e')@i
30.  (inr  Ax  )  =  pv11\_p1\_dummy\_ballot()
31.  s2  =  pv11\_p1\_init\_accepted(Cmd)
32.  (<b,  s,  c>  \mmember{}  s2)  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}e':E.  \mexists{}l:Id.  (e'  \mleq{}loc  e    \mwedge{}  <l,  b,  s,  c>  \mmember{}  pv11\_p1\_p2a'base(Cmd;f)(e')))@i
33.  \mneg{}(\mexists{}zzc:pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd.  ((zzc  \mmember{}  s2)  \mwedge{}  (\muparrow{}(pv11\_p1\_same\_pvalue(Cmd)  <y3,  y5,  y6>  zz\000Cc))))
34.  b  =  y3
35.  s  =  y5
36.  c  =  y6
37.  \muparrow{}first(e')
\mvdash{}  \mexists{}e':E.  \mexists{}l:Id.  (e'  \mleq{}loc  e    \mwedge{}  <l,  b,  s,  c>  \mmember{}  pv11\_p1\_p2a'base(Cmd;f)(e'))


By

---

Latex:
(MaUseClassRel  (-9)  THEN  All  Reduce  THEN  Auto  THEN  InstConcl  [\mkleeneopen{}e'\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}y1\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THEN  Auto)

---

Home Index