---

Step * of Lemma pv11_p1_adopted_from_acceptor

∀Cmd:ValueAllType. ∀f:pv11_p1_headers_type{i:l}(Cmd). ∀es:EO+(Message(f)). ∀e:E. ∀accpts,ldrs:bag(Id).
∀ldrs_uid:Id ─→ ℤ. ∀reps:bag(Id). ∀bnum:pv11_p1_Ballot_Num(). ∀pvals:(pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List.
∀b:pv11_p1_Ballot_Num(). ∀s:ℤ. ∀c:Cmd.
  (pv11_p1_message-constraint{paxos-v11-part1.esh:o}(Cmd; accpts; ldrs; ldrs_uid; reps; f; es)
  ⇒ <bnum, pvals> ∈ pv11_p1_adopted'base(Cmd;f)(e)
  ⇒ (<b, s, c> ∈ pvals)
  ⇒ (↓∃e':E
        ∃accepted:(pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List
         ((e' < e) ∧ <bnum, accepted> ∈ pv11_p1_AcceptorState(Cmd;ldrs_uid;f)(e') ∧ (<b, s, c> ∈ accepted))))
BY
{ (StartEmlProof THEN (UseMessageConstraint (-2) THENA Auto) THEN SquashExRepD THEN DProdsAndUnions) }

1
1. Cmd : {T:Type| valueall-type(T)} @i'
2. f : pv11_p1_headers_type{i:l}(Cmd)@i'
3. (f [decision]) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
4. (f [propose]) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
5. (f ``pv11_p1 adopted``) = (pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List)) ∈ Type
6. (f ``pv11_p1 preempted``) = pv11_p1_Ballot_Num() ∈ Type
7. (f ``pv11_p1 p2b``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × pv11_p1_Ballot_Num()) ∈ Type
8. (f ``pv11_p1 p2a``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) ∈ Type
9. (f ``pv11_p1 p1b``)
= (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List))
∈ Type
10. (f ``pv11_p1 p1a``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num()) ∈ Type
11. f ∈ Name ─→ Type
12. es : EO+(Message(f))@i'
13. e : E@i
14. accpts : bag(Id)@i
15. ldrs : bag(Id)@i
16. ldrs_uid : Id ─→ ℤ@i
17. reps : bag(Id)@i
18. bnum : pv11_p1_Ballot_Num()@i
19. pvals : (pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List@i
20. b : pv11_p1_Ballot_Num()@i
21. s : ℤ@i
22. c : Cmd@i
23. pv11_p1_message-constraint{paxos-v11-part1.esh:o}(Cmd; accpts; ldrs; ldrs_uid; reps; f; es)@i
24. <bnum, pvals> ∈ pv11_p1_adopted'base(Cmd;f)(e)@i
25. (<b, s, c> ∈ pvals)@i
26. e' : E
27. delay : ℤ
28. (e' < e)
29. loc(e') ↓∈ ldrs
30. (no ((pv11_p1_scout_output(Cmd;accpts;f) (pv11_p1_init_ballot_num() loc(e')) o pv11_p1_p1b'base(Cmd;f)) o
        pv11_p1_ScoutState(Cmd;accpts;f) (pv11_p1_init_ballot_num() loc(e'))) prior to e')
31. header(e') = ``pv11_p1 p1b`` ∈ Name
32. has-es-info-type(es;e';f;Id × pv11_p1_Ballot_Num() × pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List))
33. (pv11_p1_init_ballot_num() loc(e')) = (fst(snd(msgval(e')))) ∈ pv11_p1_Ballot_Num()
34. delay = 0 ∈ ℤ
35. loc(e) = loc(e') ∈ Id
36. (pv11_p1_init_ballot_num() loc(e')) = (fst(snd(snd(msgval(e'))))) ∈ pv11_p1_Ballot_Num()
37. #(fst(pv11_p1_ScoutStateFun(Cmd;accpts;f;pv11_p1_init_ballot_num() loc(e');es;e'))) < pv11_p1_threshold(accpts)
38. msg-authentic(info(e)) = pv11_p1_init_active()
39. bnum = (pv11_p1_init_ballot_num() loc(e')) ∈ pv11_p1_Ballot_Num()
40. pvals
= (snd(pv11_p1_ScoutStateFun(Cmd;accpts;f;pv11_p1_init_ballot_num() loc(e');es;e')))
∈ ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List)
⊢ ↓∃e':E
    ∃accepted:(pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List
     ((e' < e) ∧ <bnum, accepted> ∈ pv11_p1_AcceptorState(Cmd;ldrs_uid;f)(e') ∧ (<b, s, c> ∈ accepted))

2
1. Cmd : {T:Type| valueall-type(T)} @i'
2. f : pv11_p1_headers_type{i:l}(Cmd)@i'
3. (f [decision]) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
4. (f [propose]) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
5. (f ``pv11_p1 adopted``) = (pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List)) ∈ Type
6. (f ``pv11_p1 preempted``) = pv11_p1_Ballot_Num() ∈ Type
7. (f ``pv11_p1 p2b``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × pv11_p1_Ballot_Num()) ∈ Type
8. (f ``pv11_p1 p2a``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) ∈ Type
9. (f ``pv11_p1 p1b``)
= (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List))
∈ Type
10. (f ``pv11_p1 p1a``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num()) ∈ Type
11. f ∈ Name ─→ Type
12. es : EO+(Message(f))@i'
13. e : E@i
14. accpts : bag(Id)@i
15. ldrs : bag(Id)@i
16. ldrs_uid : Id ─→ ℤ@i
17. reps : bag(Id)@i
18. bnum : pv11_p1_Ballot_Num()@i
19. pvals : (pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List@i
20. b : pv11_p1_Ballot_Num()@i
21. s : ℤ@i
22. c : Cmd@i
23. pv11_p1_message-constraint{paxos-v11-part1.esh:o}(Cmd; accpts; ldrs; ldrs_uid; reps; f; es)@i
24. <bnum, pvals> ∈ pv11_p1_adopted'base(Cmd;f)(e)@i
25. (<b, s, c> ∈ pvals)@i
26. e' : E
27. delay : ℤ
28. (e' < e)
29. loc(e') ↓∈ ldrs
30. e1 : {e1:E| e1 ≤loc e' } 
31. header(e1) = ``pv11_p1 preempted`` ∈ Name
32. has-es-info-type(es;e1;f;pv11_p1_Ballot_Num())
33. ↑(pv11_p1_is_bnum() msgval(e1))
34. ↑(fst(pv11_p1_LeaderStateFun(Cmd;ldrs_uid;f;es;e1))  < msgval(e1))
35. (no ((pv11_p1_scout_output(Cmd;accpts;f) (pv11_p1_upd_bnum() msgval(e1) loc(e1)) o pv11_p1_p1b'base(Cmd;f)) o
        pv11_p1_ScoutState(Cmd;accpts;f) (pv11_p1_upd_bnum() msgval(e1) loc(e1))) between e1 and e')
36. header(e') = ``pv11_p1 p1b`` ∈ Name
37. has-es-info-type(es;e';f;Id × pv11_p1_Ballot_Num() × pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List))
38. (pv11_p1_upd_bnum() msgval(e1) loc(e1)) = (fst(snd(msgval(e')))) ∈ pv11_p1_Ballot_Num()
39. delay = 0 ∈ ℤ
40. loc(e) = loc(e') ∈ Id
41. (pv11_p1_upd_bnum() msgval(e1) loc(e1)) = (fst(snd(snd(msgval(e'))))) ∈ pv11_p1_Ballot_Num()
42. #(fst(pv11_p1_ScoutStateFun(Cmd;accpts;f;pv11_p1_upd_bnum() msgval(e1) 
                                             loc(e1);es.e1;e'))) < pv11_p1_threshold(accpts)
43. msg-authentic(info(e)) = pv11_p1_init_active()
44. bnum = (pv11_p1_upd_bnum() msgval(e1) loc(e1)) ∈ pv11_p1_Ballot_Num()
45. pvals
= (snd(pv11_p1_ScoutStateFun(Cmd;accpts;f;pv11_p1_upd_bnum() msgval(e1) loc(e1);es.e1;e')))
∈ ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List)
⊢ ↓∃e':E
    ∃accepted:(pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List
     ((e' < e) ∧ <bnum, accepted> ∈ pv11_p1_AcceptorState(Cmd;ldrs_uid;f)(e') ∧ (<b, s, c> ∈ accepted))

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}Cmd:ValueAllType.  \mforall{}f:pv11\_p1\_headers\_type\{i:l\}(Cmd).  \mforall{}es:EO+(Message(f)).  \mforall{}e:E.
\mforall{}accpts,ldrs:bag(Id).  \mforall{}ldrs$_{uid}$:Id  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}.  \mforall{}reps:bag(Id).  \mforall{}bnum:pv11\_p1\_Ballot\000C\_Num().
\mforall{}pvals:(pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)  List.  \mforall{}b:pv11\_p1\_Ballot\_Num().  \mforall{}s:\mBbbZ{}.  \mforall{}c:Cmd.
    (pv11\_p1\_message-constraint\{paxos-v11-part1.esh:o\}(Cmd;  accpts;  ldrs;  ldrs$_{uid}\mbackslash{}\000Cff24;  reps;  f;  es)
    {}\mRightarrow{}  <bnum,  pvals>  \mmember{}  pv11\_p1\_adopted'base(Cmd;f)(e)
    {}\mRightarrow{}  (<b,  s,  c>  \mmember{}  pvals)
    {}\mRightarrow{}  (\mdownarrow{}\mexists{}e':E
                \mexists{}accepted:(pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)  List
                  ((e'  <  e)
                  \mwedge{}  <bnum,  accepted>  \mmember{}  pv11\_p1\_AcceptorState(Cmd;ldrs$_{uid}$;f)(e')
                  \mwedge{}  (<b,  s,  c>  \mmember{}  accepted))))


By

---

Latex:
(StartEmlProof  THEN  (UseMessageConstraint  (-2)  THENA  Auto)  THEN  SquashExRepD  THEN  DProdsAndUnions)

---

Home Index