---

Step * of Lemma pv11_p1_adopted_from_maj_acceptors

∀Cmd:ValueAllType. ∀f:pv11_p1_headers_type{i:l}(Cmd). ∀es:EO+(Message(f)). ∀e:E. ∀accpts,ldrs:bag(Id).
∀ldrs_uid:Id ─→ ℤ. ∀reps:bag(Id). ∀bnum:pv11_p1_Ballot_Num(). ∀pvals:(pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List.
  (Inj(Id;ℤ;ldrs_uid)
  ⇒ pv11_p1_message-constraint{paxos-v11-part1.esh:o}(Cmd; accpts; ldrs; ldrs_uid; reps; f; es)
  ⇒ <bnum, pvals> ∈ pv11_p1_adopted'base(Cmd;f)(e)
  ⇒ (↓∃L:E List
        (#([i∈accpts|¬bi ∈b map(λe.loc(e);L))]) < pv11_p1_threshold(accpts)
        ∧ (∀pv:pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd
             ((pv ∈ pvals) ⇐⇒ (pv ∈ concat(map(λe.(snd(pv11_p1_AcceptorStateFun(Cmd;ldrs_uid;f;es;e)));L)))))
        ∧ (∀e':E
             ((e' ∈ L)
             ⇒ ((e' < e)
                ∧ loc(e') ↓∈ accpts
                ∧ (bnum = (fst(pv11_p1_AcceptorStateFun(Cmd;ldrs_uid;f;es;e'))) ∈ pv11_p1_Ballot_Num())))))))
BY
{ StartEmlProof }

1
1. Cmd : {T:Type| valueall-type(T)} @i'
2. f : pv11_p1_headers_type{i:l}(Cmd)@i'
3. (f [decision]) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
4. (f [propose]) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
5. (f ``pv11_p1 adopted``) = (pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List)) ∈ Type
6. (f ``pv11_p1 preempted``) = pv11_p1_Ballot_Num() ∈ Type
7. (f ``pv11_p1 p2b``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × pv11_p1_Ballot_Num()) ∈ Type
8. (f ``pv11_p1 p2a``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) ∈ Type
9. (f ``pv11_p1 p1b``)
= (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List))
∈ Type
10. (f ``pv11_p1 p1a``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num()) ∈ Type
11. f ∈ Name ─→ Type
12. es : EO+(Message(f))@i'
13. e : E@i
14. accpts : bag(Id)@i
15. ldrs : bag(Id)@i
16. ldrs_uid : Id ─→ ℤ@i
17. reps : bag(Id)@i
18. bnum : pv11_p1_Ballot_Num()@i
19. pvals : (pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List@i
20. Inj(Id;ℤ;ldrs_uid)@i
21. pv11_p1_message-constraint{paxos-v11-part1.esh:o}(Cmd; accpts; ldrs; ldrs_uid; reps; f; es)@i
22. <bnum, pvals> ∈ pv11_p1_adopted'base(Cmd;f)(e)@i
⊢ ↓∃L:E List
    (#([i∈accpts|¬bi ∈b map(λe.loc(e);L))]) < pv11_p1_threshold(accpts)
    ∧ (∀pv:pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd
         ((pv ∈ pvals) ⇐⇒ (pv ∈ concat(map(λe.(snd(pv11_p1_AcceptorStateFun(Cmd;ldrs_uid;f;es;e)));L)))))
    ∧ (∀e':E
         ((e' ∈ L)
         ⇒ ((e' < e)
            ∧ loc(e') ↓∈ accpts
            ∧ (bnum = (fst(pv11_p1_AcceptorStateFun(Cmd;ldrs_uid;f;es;e'))) ∈ pv11_p1_Ballot_Num())))))

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}Cmd:ValueAllType.  \mforall{}f:pv11\_p1\_headers\_type\{i:l\}(Cmd).  \mforall{}es:EO+(Message(f)).  \mforall{}e:E.
\mforall{}accpts,ldrs:bag(Id).  \mforall{}ldrs$_{uid}$:Id  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}.  \mforall{}reps:bag(Id).  \mforall{}bnum:pv11\_p1\_Ballot\000C\_Num().
\mforall{}pvals:(pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)  List.
    (Inj(Id;\mBbbZ{};ldrs$_{uid}$)
    {}\mRightarrow{}  pv11\_p1\_message-constraint\{paxos-v11-part1.esh:o\}(Cmd;  accpts;  ldrs;  ldrs$_{uid\mbackslash{}ff7\000Cd$;  reps;  f;  es)
    {}\mRightarrow{}  <bnum,  pvals>  \mmember{}  pv11\_p1\_adopted'base(Cmd;f)(e)
    {}\mRightarrow{}  (\mdownarrow{}\mexists{}L:E  List
                (\#([i\mmember{}accpts|\mneg{}\msubb{}i  \mmember{}\msubb{}  map(\mlambda{}e.loc(e);L))])  <  pv11\_p1\_threshold(accpts)
                \mwedge{}  (\mforall{}pv:pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd
                          ((pv  \mmember{}  pvals)
                          \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  (pv  \mmember{}  concat(map(\mlambda{}e.(snd(pv11\_p1\_AcceptorStateFun(Cmd;ldrs$_{uid}\mbackslash{}f\000Cf24;f;es;e)));L)))))
                \mwedge{}  (\mforall{}e':E
                          ((e'  \mmember{}  L)
                          {}\mRightarrow{}  ((e'  <  e)
                                \mwedge{}  loc(e')  \mdownarrow{}\mmember{}  accpts
                                \mwedge{}  (bnum  =  (fst(pv11\_p1\_AcceptorStateFun(Cmd;ldrs$_{uid}$;f;es;e'\000C))))))))))


By

---

Latex:
StartEmlProof

---

Home Index