---

Step * 1 4 1 of Lemma pv11_p1_commander_state_from_p2bs


1. Cmd : {T:Type| valueall-type(T)} @i'
2. f : pv11_p1_headers_type{i:l}(Cmd)@i'
3. (f [decision]) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
4. (f [propose]) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
5. (f ``pv11_p1 adopted``) = (pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List)) ∈ Type
6. (f ``pv11_p1 preempted``) = pv11_p1_Ballot_Num() ∈ Type
7. (f ``pv11_p1 p2b``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × pv11_p1_Ballot_Num()) ∈ Type
8. (f ``pv11_p1 p2a``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) ∈ Type
9. (f ``pv11_p1 p1b``)
= (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List))
∈ Type
10. (f ``pv11_p1 p1a``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num()) ∈ Type
11. f ∈ Name ─→ Type
12. es : EO+(Message(f))@i'
13. start : E@i
14. accpts : bag(Id)@i
15. ldrs : bag(Id)@i
16. ldrs_uid : Id ─→ ℤ@i
17. reps : bag(Id)@i
18. b : pv11_p1_Ballot_Num()@i
19. Inj(Id;ℤ;ldrs_uid)@i
20. pv11_p1_message-constraint{paxos-v11-part1.esh:o}(Cmd; accpts; ldrs; ldrs_uid; reps; f; es)@i
21. e : E@i
22. ¬↑first(e)
23. ¬↑e ∈b pv11_p1_p2b'base(Cmd;f)
24. ∀e1:E
      ((e1 < e)
      ⇒ (∀e0:E. ∀s:ℤ. ∀c:Cmd. ∀waitfor:bag(Id). ∀i,l:Id.
            (start ≤loc e1 
            ⇒ pv11_p1_p2a'send(Cmd;f) i <l, b, s, c> ∈ pv11_p1_main(Cmd;accpts;ldrs;ldrs_uid;reps;f)(e0)
            ⇒ (waitfor = pv11_p1_CommanderStateFun(Cmd;accpts;f;b;s;es.start;e1) ∈ bag(Id))
            ⇒ (↓∃L:E List
                  ((waitfor = [i∈accpts|¬bi ∈b map(λe.loc(e);L))] ∈ bag(Id))
                  ∧ (∀e':E
                       ((e' ∈ L)
                       ⇒ ((e' < e1)
                          ∧ loc(e') ↓∈ accpts
                          ∧ (b = (fst(pv11_p1_AcceptorStateFun(Cmd;ldrs_uid;f;es;e'))) ∈ pv11_p1_Ballot_Num())
                          ∧ (<b, s, c> ∈ snd(pv11_p1_AcceptorStateFun(Cmd;ldrs_uid;f;es;e')))))))))))
25. e0 : E@i
26. s : ℤ@i
27. c : Cmd@i
28. waitfor : bag(Id)@i
29. i : Id@i
30. l : Id@i
31. start ≤loc e @i
32. pv11_p1_p2a'send(Cmd;f) i <l, b, s, c> ∈ pv11_p1_main(Cmd;accpts;ldrs;ldrs_uid;reps;f)(e0)@i
33. ¬↑first(e)
34. (start <loc e)
35. L : E List
36. pv11_p1_CommanderStateFun(Cmd;accpts;f;b;s;es.start;pred(e)) = [i∈accpts|¬bi ∈b map(λe.loc(e);L))] ∈ bag(Id)
37. ∀e':E
      ((e' ∈ L)
      ⇒ ((e' < pred(e))
         ∧ loc(e') ↓∈ accpts
         ∧ (b = (fst(pv11_p1_AcceptorStateFun(Cmd;ldrs_uid;f;es;e'))) ∈ pv11_p1_Ballot_Num())
         ∧ (<b, s, c> ∈ snd(pv11_p1_AcceptorStateFun(Cmd;ldrs_uid;f;es;e')))))
38. start ≤loc pred(e) 
39. waitfor = pv11_p1_CommanderStateFun(Cmd;accpts;f;b;s;es.start;pred(e)) ∈ bag(Id)@i
⊢ ↓∃L:E List
    ((waitfor = [i∈accpts|¬bi ∈b map(λe.loc(e);L))] ∈ bag(Id))
    ∧ (∀e':E
         ((e' ∈ L)
         ⇒ ((e' < e)
            ∧ loc(e') ↓∈ accpts
            ∧ (b = (fst(pv11_p1_AcceptorStateFun(Cmd;ldrs_uid;f;es;e'))) ∈ pv11_p1_Ballot_Num())
            ∧ (<b, s, c> ∈ snd(pv11_p1_AcceptorStateFun(Cmd;ldrs_uid;f;es;e')))))))
BY
{ (D 0 THEN InstConcl [⌈L⌉]⋅ THEN Auto THEN InstHyp [⌈e'⌉] (-6)⋅ THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  Cmd  :  \{T:Type|  valueall-type(T)\}  @i'
2.  f  :  pv11\_p1\_headers\_type\{i:l\}(Cmd)@i'
3.  (f  [decision])  =  (\mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)
4.  (f  [propose])  =  (\mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)
5.  (f  ``pv11\_p1  adopted``)  =  (pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  ((pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)  List))
6.  (f  ``pv11\_p1  preempted``)  =  pv11\_p1\_Ballot\_Num()
7.  (f  ``pv11\_p1  p2b``)  =  (Id  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num())
8.  (f  ``pv11\_p1  p2a``)  =  (Id  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)
9.  (f  ``pv11\_p1  p1b``)
=  (Id  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  ((pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)  List))
10.  (f  ``pv11\_p1  p1a``)  =  (Id  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num())
11.  f  \mmember{}  Name  {}\mrightarrow{}  Type
12.  es  :  EO+(Message(f))@i'
13.  start  :  E@i
14.  accpts  :  bag(Id)@i
15.  ldrs  :  bag(Id)@i
16.  ldrs$_{uid}$  :  Id  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}@i
17.  reps  :  bag(Id)@i
18.  b  :  pv11\_p1\_Ballot\_Num()@i
19.  Inj(Id;\mBbbZ{};ldrs$_{uid}$)@i
20.  pv11\_p1\_message-constraint\{paxos-v11-part1.esh:o\}(Cmd;  accpts;  ldrs;  ldrs$_{uid}\000C$;  reps;  f;  es)@i
21.  e  :  E@i
22.  \mneg{}\muparrow{}first(e)
23.  \mneg{}\muparrow{}e  \mmember{}\msubb{}  pv11\_p1\_p2b'base(Cmd;f)
24.  \mforall{}e1:E
            ((e1  <  e)
            {}\mRightarrow{}  (\mforall{}e0:E.  \mforall{}s:\mBbbZ{}.  \mforall{}c:Cmd.  \mforall{}waitfor:bag(Id).  \mforall{}i,l:Id.
                        (start  \mleq{}loc  e1 
                        {}\mRightarrow{}  pv11\_p1\_p2a'send(Cmd;f)  i  <l,  b,  s,  c>  \mmember{}  pv11\_p1\_main(Cmd;accpts;ldrs;ldrs$_\mbackslash{}\000Cff7buid}$;reps;f)(e0)
                        {}\mRightarrow{}  (waitfor  =  pv11\_p1\_CommanderStateFun(Cmd;accpts;f;b;s;es.start;e1))
                        {}\mRightarrow{}  (\mdownarrow{}\mexists{}L:E  List
                                    ((waitfor  =  [i\mmember{}accpts|\mneg{}\msubb{}i  \mmember{}\msubb{}  map(\mlambda{}e.loc(e);L))])
                                    \mwedge{}  (\mforall{}e':E
                                              ((e'  \mmember{}  L)
                                              {}\mRightarrow{}  ((e'  <  e1)
                                                    \mwedge{}  loc(e')  \mdownarrow{}\mmember{}  accpts
                                                    \mwedge{}  (b  =  (fst(pv11\_p1\_AcceptorStateFun(Cmd;ldrs$_{uid}$;\000Cf;es;e'))))
                                                    \mwedge{}  (<b,  s,  c>  \mmember{}  snd(pv11\_p1\_AcceptorStateFun(Cmd;ldrs$_{uid\mbackslash{}ff7\000Cd$;f;es;e')))))))))))
25.  e0  :  E@i
26.  s  :  \mBbbZ{}@i
27.  c  :  Cmd@i
28.  waitfor  :  bag(Id)@i
29.  i  :  Id@i
30.  l  :  Id@i
31.  start  \mleq{}loc  e  @i
32.  pv11\_p1\_p2a'send(Cmd;f)  i  <l,  b,  s,  c>  \mmember{}  pv11\_p1\_main(Cmd;accpts;ldrs;ldrs$_{uid\mbackslash{}ff7\000Cd$;reps;f)(e0)@i
33.  \mneg{}\muparrow{}first(e)
34.  (start  <loc  e)
35.  L  :  E  List
36.  pv11\_p1\_CommanderStateFun(Cmd;accpts;f;b;s;es.start;pred(e))
=  [i\mmember{}accpts|\mneg{}\msubb{}i  \mmember{}\msubb{}  map(\mlambda{}e.loc(e);L))]
37.  \mforall{}e':E
            ((e'  \mmember{}  L)
            {}\mRightarrow{}  ((e'  <  pred(e))
                  \mwedge{}  loc(e')  \mdownarrow{}\mmember{}  accpts
                  \mwedge{}  (b  =  (fst(pv11\_p1\_AcceptorStateFun(Cmd;ldrs$_{uid}$;f;es;e'))))
                  \mwedge{}  (<b,  s,  c>  \mmember{}  snd(pv11\_p1\_AcceptorStateFun(Cmd;ldrs$_{uid}$;f;es;e')))\000C))
38.  start  \mleq{}loc  pred(e) 
39.  waitfor  =  pv11\_p1\_CommanderStateFun(Cmd;accpts;f;b;s;es.start;pred(e))@i
\mvdash{}  \mdownarrow{}\mexists{}L:E  List
        ((waitfor  =  [i\mmember{}accpts|\mneg{}\msubb{}i  \mmember{}\msubb{}  map(\mlambda{}e.loc(e);L))])
        \mwedge{}  (\mforall{}e':E
                  ((e'  \mmember{}  L)
                  {}\mRightarrow{}  ((e'  <  e)
                        \mwedge{}  loc(e')  \mdownarrow{}\mmember{}  accpts
                        \mwedge{}  (b  =  (fst(pv11\_p1\_AcceptorStateFun(Cmd;ldrs$_{uid}$;f;es;e'))))
                        \mwedge{}  (<b,  s,  c>  \mmember{}  snd(pv11\_p1\_AcceptorStateFun(Cmd;ldrs$_{uid}$;f;es;e'\000C)))))))


By

---

Latex:
(D  0  THEN  InstConcl  [\mkleeneopen{}L\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THEN  Auto  THEN  InstHyp  [\mkleeneopen{}e'\mkleeneclose{}]  (-6)\mcdot{}  THEN  Auto)

---

Home Index