---

Step * of Lemma pv11_p1_decision_from_maj_acceptors

∀Cmd:ValueAllType. ∀f:pv11_p1_headers_type{i:l}(Cmd). ∀es:EO+(Message(f)). ∀e:E. ∀accpts,ldrs:bag(Id).
∀ldrs_uid:Id ─→ ℤ. ∀reps:bag(Id). ∀b:pv11_p1_Ballot_Num(). ∀s:ℤ. ∀c:Cmd. ∀i:Id.
  (Inj(Id;ℤ;ldrs_uid)
  ⇒ pv11_p1_message-constraint{paxos-v11-part1.esh:o}(Cmd; accpts; ldrs; ldrs_uid; reps; f; es)
  ⇒ 0 < #(accpts)
  ⇒ has-es-info-type(es;e;f;Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × pv11_p1_Ballot_Num())
  ⇒ (b = (snd(snd(snd(msgval(e))))) ∈ pv11_p1_Ballot_Num())
  ⇒ pv11_p1_decision'send(Cmd;f) i <s, c> ∈ pv11_p1_main(Cmd;accpts;ldrs;ldrs_uid;reps;f)(e)
  ⇒ (↓∃L:E List
        (#([i∈accpts|¬bi ∈b map(λe.loc(e);L))]) < pv11_p1_threshold(accpts)
        ∧ (∀e':E
             ((e' ∈ L)
             ⇒ ((e' < e)
                ∧ loc(e') ↓∈ accpts
                ∧ (b = (fst(pv11_p1_AcceptorStateFun(Cmd;ldrs_uid;f;es;e'))) ∈ pv11_p1_Ballot_Num())
                ∧ (<b, s, c> ∈ snd(pv11_p1_AcceptorStateFun(Cmd;ldrs_uid;f;es;e')))))))))
BY
{ StartEmlProof }

1
1. Cmd : {T:Type| valueall-type(T)} @i'
2. f : pv11_p1_headers_type{i:l}(Cmd)@i'
3. (f [decision]) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
4. (f [propose]) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
5. (f ``pv11_p1 adopted``) = (pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List)) ∈ Type
6. (f ``pv11_p1 preempted``) = pv11_p1_Ballot_Num() ∈ Type
7. (f ``pv11_p1 p2b``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × pv11_p1_Ballot_Num()) ∈ Type
8. (f ``pv11_p1 p2a``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) ∈ Type
9. (f ``pv11_p1 p1b``)
= (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List))
∈ Type
10. (f ``pv11_p1 p1a``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num()) ∈ Type
11. f ∈ Name ─→ Type
12. es : EO+(Message(f))@i'
13. e : E@i
14. accpts : bag(Id)@i
15. ldrs : bag(Id)@i
16. ldrs_uid : Id ─→ ℤ@i
17. reps : bag(Id)@i
18. b : pv11_p1_Ballot_Num()@i
19. s : ℤ@i
20. c : Cmd@i
21. i : Id@i
22. Inj(Id;ℤ;ldrs_uid)@i
23. pv11_p1_message-constraint{paxos-v11-part1.esh:o}(Cmd; accpts; ldrs; ldrs_uid; reps; f; es)@i
24. 0 < #(accpts)@i
25. has-es-info-type(es;e;f;Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × pv11_p1_Ballot_Num())@i
26. b = (snd(snd(snd(msgval(e))))) ∈ pv11_p1_Ballot_Num()@i
27. pv11_p1_decision'send(Cmd;f) i <s, c> ∈ pv11_p1_main(Cmd;accpts;ldrs;ldrs_uid;reps;f)(e)@i
⊢ ↓∃L:E List
    (#([i∈accpts|¬bi ∈b map(λe.loc(e);L))]) < pv11_p1_threshold(accpts)
    ∧ (∀e':E
         ((e' ∈ L)
         ⇒ ((e' < e)
            ∧ loc(e') ↓∈ accpts
            ∧ (b = (fst(pv11_p1_AcceptorStateFun(Cmd;ldrs_uid;f;es;e'))) ∈ pv11_p1_Ballot_Num())
            ∧ (<b, s, c> ∈ snd(pv11_p1_AcceptorStateFun(Cmd;ldrs_uid;f;es;e')))))))

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}Cmd:ValueAllType.  \mforall{}f:pv11\_p1\_headers\_type\{i:l\}(Cmd).  \mforall{}es:EO+(Message(f)).  \mforall{}e:E.
\mforall{}accpts,ldrs:bag(Id).  \mforall{}ldrs$_{uid}$:Id  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}.  \mforall{}reps:bag(Id).  \mforall{}b:pv11\_p1\_Ballot\_Nu\000Cm().  \mforall{}s:\mBbbZ{}.  \mforall{}c:Cmd.  \mforall{}i:Id.
    (Inj(Id;\mBbbZ{};ldrs$_{uid}$)
    {}\mRightarrow{}  pv11\_p1\_message-constraint\{paxos-v11-part1.esh:o\}(Cmd;  accpts;  ldrs;  ldrs$_{uid\mbackslash{}ff7\000Cd$;  reps;  f;  es)
    {}\mRightarrow{}  0  <  \#(accpts)
    {}\mRightarrow{}  has-es-info-type(es;e;f;Id  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num())
    {}\mRightarrow{}  (b  =  (snd(snd(snd(msgval(e))))))
    {}\mRightarrow{}  pv11\_p1\_decision'send(Cmd;f)  i  <s,  c>  \mmember{}  pv11\_p1\_main(Cmd;accpts;ldrs;ldrs$_{uid\mbackslash{}ff7\000Cd$;reps;f)(e)
    {}\mRightarrow{}  (\mdownarrow{}\mexists{}L:E  List
                (\#([i\mmember{}accpts|\mneg{}\msubb{}i  \mmember{}\msubb{}  map(\mlambda{}e.loc(e);L))])  <  pv11\_p1\_threshold(accpts)
                \mwedge{}  (\mforall{}e':E
                          ((e'  \mmember{}  L)
                          {}\mRightarrow{}  ((e'  <  e)
                                \mwedge{}  loc(e')  \mdownarrow{}\mmember{}  accpts
                                \mwedge{}  (b  =  (fst(pv11\_p1\_AcceptorStateFun(Cmd;ldrs$_{uid}$;f;es;e')))\000C)
                                \mwedge{}  (<b,  s,  c>  \mmember{}  snd(pv11\_p1\_AcceptorStateFun(Cmd;ldrs$_{uid}$;f;e\000Cs;e')))))))))


By

---

Latex:
StartEmlProof

---

Home Index