---

Step * 1 of Lemma pv11_p1_ldr_active


1. Cmd : {T:Type| valueall-type(T)} @i'
2. f : pv11_p1_headers_type{i:l}(Cmd)@i'
3. (f [decision]) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
4. (f [propose]) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
5. (f ``pv11_p1 adopted``) = (pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List)) ∈ Type
6. (f ``pv11_p1 preempted``) = pv11_p1_Ballot_Num() ∈ Type
7. (f ``pv11_p1 p2b``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × pv11_p1_Ballot_Num()) ∈ Type
8. (f ``pv11_p1 p2a``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) ∈ Type
9. (f ``pv11_p1 p1b``)
= (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List))
∈ Type
10. (f ``pv11_p1 p1a``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num()) ∈ Type
11. f ∈ Name ─→ Type
12. es : EO+(Message(f))@i'
13. e : E@i
14. ldrs_uid : Id ─→ ℤ@i
15. v1 : pv11_p1_Ballot_Num()@i
16. v3 : 𝔹@i
17. v4 : (ℤ × Cmd) List@i
18. <v1, v3, v4> ∈
     Memory-loc-class(pv11_p1_on_propose(Cmd) + pv11_p1_when_adopted(Cmd;ldrs_uid) + ...;λloc.{pv11_p1_init_leader(Cmd) 
                                                                                               loc};... (+) ...)(e)
19. x1 : pv11_p1_Ballot_Num()@i'
20. x2 : (pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List@i'
21. e' : E@i'
22. s1 : pv11_p1_Ballot_Num()@i'
23. s3 : 𝔹@i'
24. s4 : (ℤ × Cmd) List@i'
25. (e' <loc e)@i'
26. inr (inl <x1, x2>)  ∈ pv11_p1_propose'base(Cmd;f) (+) pv11_p1_adopted'base(Cmd;f) (+) pv11_p1_preempted'base(Cmd;f)(\000Ce')@i'
27. <s1, s3, s4> ∈
     Memory-loc-class(pv11_p1_on_propose(Cmd) + pv11_p1_when_adopted(Cmd;ldrs_uid) + ...;λloc.{pv11_p1_init_leader(Cmd) 
                                                                                               loc};... (+) ...)(e')@i'
28. (↑s3)
⇒ (∃e':E
     ∃pvals:(pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List. (e' ≤loc e  ∧ <s1, pvals> ∈ pv11_p1_adopted'base(Cmd;f)(e')))@i'
29. x1 = s1 ∈ pv11_p1_Ballot_Num()
⊢ ∃e':E. ∃pvals:(pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List. (e' ≤loc e  ∧ <s1, pvals> ∈ pv11_p1_adopted'base(Cmd;f)(e'))
BY
{ RepeatFor 2 ((UseClassRel (-4) THEN All Reduce THEN Auto THEN ThinTrivial THEN SplitOrHyps THEN Auto)) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  Cmd  :  \{T:Type|  valueall-type(T)\}  @i'
2.  f  :  pv11\_p1\_headers\_type\{i:l\}(Cmd)@i'
3.  (f  [decision])  =  (\mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)
4.  (f  [propose])  =  (\mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)
5.  (f  ``pv11\_p1  adopted``)  =  (pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  ((pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)  List))
6.  (f  ``pv11\_p1  preempted``)  =  pv11\_p1\_Ballot\_Num()
7.  (f  ``pv11\_p1  p2b``)  =  (Id  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num())
8.  (f  ``pv11\_p1  p2a``)  =  (Id  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)
9.  (f  ``pv11\_p1  p1b``)
=  (Id  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  ((pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)  List))
10.  (f  ``pv11\_p1  p1a``)  =  (Id  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num())
11.  f  \mmember{}  Name  {}\mrightarrow{}  Type
12.  es  :  EO+(Message(f))@i'
13.  e  :  E@i
14.  ldrs$_{uid}$  :  Id  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}@i
15.  v1  :  pv11\_p1\_Ballot\_Num()@i
16.  v3  :  \mBbbB{}@i
17.  v4  :  (\mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)  List@i
18.  <v1,  v3,  v4>  \mmember{}
          Memory-loc-class(pv11\_p1\_on\_propose(Cmd)  +  pv11\_p1\_when\_adopted(Cmd;ldrs$_{uid}\000C$)  +  ...;...;...)(e)
19.  x1  :  pv11\_p1\_Ballot\_Num()@i'
20.  x2  :  (pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)  List@i'
21.  e'  :  E@i'
22.  s1  :  pv11\_p1\_Ballot\_Num()@i'
23.  s3  :  \mBbbB{}@i'
24.  s4  :  (\mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)  List@i'
25.  (e'  <loc  e)@i'
26.  inr  (inl  <x1,  x2>)    \mmember{}
          pv11\_p1\_propose'base(Cmd;f)  (+)  pv11\_p1\_adopted'base(Cmd;f)  (+)  pv11\_p1\_preempted'base(Cmd;f)(
          e')@i'
27.  <s1,  s3,  s4>  \mmember{}
          Memory-loc-class(pv11\_p1\_on\_propose(Cmd)  +  pv11\_p1\_when\_adopted(Cmd;ldrs$_{uid}\000C$)  +  ...;...;...)(
          e')@i'
28.  (\muparrow{}s3)
{}\mRightarrow{}  (\mexists{}e':E
          \mexists{}pvals:(pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)  List
            (e'  \mleq{}loc  e    \mwedge{}  <s1,  pvals>  \mmember{}  pv11\_p1\_adopted'base(Cmd;f)(e')))@i'
29.  x1  =  s1
\mvdash{}  \mexists{}e':E
      \mexists{}pvals:(pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)  List
        (e'  \mleq{}loc  e    \mwedge{}  <s1,  pvals>  \mmember{}  pv11\_p1\_adopted'base(Cmd;f)(e'))


By

---

Latex:
RepeatFor  2  ((UseClassRel  (-4)
                            THEN  All  Reduce
                            THEN  Auto
                            THEN  ThinTrivial
                            THEN  SplitOrHyps
                            THEN  Auto))

---

Home Index