---

Step * 1 of Lemma pv11_p1_ldr_fun_proposal3


1. Cmd : {T:Type| valueall-type(T)} @i'
2. f : pv11_p1_headers_type{i:l}(Cmd)@i'
3. (f [decision]) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
4. (f [propose]) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
5. (f ``pv11_p1 adopted``) = (pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List)) ∈ Type
6. (f ``pv11_p1 preempted``) = pv11_p1_Ballot_Num() ∈ Type
7. (f ``pv11_p1 p2b``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × pv11_p1_Ballot_Num()) ∈ Type
8. (f ``pv11_p1 p2a``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) ∈ Type
9. (f ``pv11_p1 p1b``)
= (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List))
∈ Type
10. (f ``pv11_p1 p1a``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num()) ∈ Type
11. f ∈ Name ─→ Type
12. es : EO+(Message(f))@i'
13. e : E@i
14. ldrs_uid : Id ─→ ℤ@i
15. s : ℤ@i
16. c : Cmd@i
17. (<s, c> ∈ snd(snd(pv11_p1_LeaderStateFun(Cmd;ldrs_uid;f;es;e))))@i
18. e' : E
19. bnum : pv11_p1_Ballot_Num()
20. active : 𝔹
21. proposals : (ℤ × Cmd) List
22. (e' <loc e)
23. <bnum, active, proposals> ∈ pv11_p1_LeaderState(Cmd;ldrs_uid;f)(e')
24. ∀e'':E. ∀x:pv11_p1_Ballot_Num() × 𝔹 × ((ℤ × Cmd) List).
      ((e' <loc e'') ⇒ e'' ≤loc e  ⇒ x ∈ pv11_p1_LeaderState(Cmd;ldrs_uid;f)(e'') ⇒ (<s, c> ∈ snd(snd(x))))
25. (<s, c> ∈ pv11_p1_propose'base(Cmd;f)(e') ∧ (¬↑(pv11_p1_in_domain(Cmd) s proposals)))
∨ (∃pvals:(pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List
    ∃b:pv11_p1_Ballot_Num()
     (<bnum, pvals> ∈ pv11_p1_adopted'base(Cmd;f)(e')
     ∧ (<b, s, c> ∈ pvals)
     ∧ (∀b':pv11_p1_Ballot_Num(). ∀c':Cmd.  ((<b', s, c'> ∈ pvals) ⇒ (↑(pv11_p1_leq_bnum(ldrs_uid) b' b))))))
26. (e' <loc e)
27. e'' : E@i
28. (e' <loc e'')@i
29. e'' ≤loc e @i
⊢ (<s, c> ∈ snd(snd(pv11_p1_LeaderStateFun(Cmd;ldrs_uid;f;es;e''))))
BY
{ (InstHyp [⌈e''⌉;⌈pv11_p1_LeaderStateFun(Cmd;ldrs_uid;f;es;e'')⌉] (-6)⋅
   THEN Auto
   THEN BLemma `pv11_p1_LeaderState-classrel`
   THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  Cmd  :  \{T:Type|  valueall-type(T)\}  @i'
2.  f  :  pv11\_p1\_headers\_type\{i:l\}(Cmd)@i'
3.  (f  [decision])  =  (\mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)
4.  (f  [propose])  =  (\mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)
5.  (f  ``pv11\_p1  adopted``)  =  (pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  ((pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)  List))
6.  (f  ``pv11\_p1  preempted``)  =  pv11\_p1\_Ballot\_Num()
7.  (f  ``pv11\_p1  p2b``)  =  (Id  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num())
8.  (f  ``pv11\_p1  p2a``)  =  (Id  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)
9.  (f  ``pv11\_p1  p1b``)
=  (Id  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  ((pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)  List))
10.  (f  ``pv11\_p1  p1a``)  =  (Id  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num())
11.  f  \mmember{}  Name  {}\mrightarrow{}  Type
12.  es  :  EO+(Message(f))@i'
13.  e  :  E@i
14.  ldrs$_{uid}$  :  Id  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}@i
15.  s  :  \mBbbZ{}@i
16.  c  :  Cmd@i
17.  (<s,  c>  \mmember{}  snd(snd(pv11\_p1\_LeaderStateFun(Cmd;ldrs$_{uid}$;f;es;e))))@i
18.  e'  :  E
19.  bnum  :  pv11\_p1\_Ballot\_Num()
20.  active  :  \mBbbB{}
21.  proposals  :  (\mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)  List
22.  (e'  <loc  e)
23.  <bnum,  active,  proposals>  \mmember{}  pv11\_p1\_LeaderState(Cmd;ldrs$_{uid}$;f)(e')
24.  \mforall{}e'':E.  \mforall{}x:pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbB{}  \mtimes{}  ((\mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)  List).
            ((e'  <loc  e'')
            {}\mRightarrow{}  e''  \mleq{}loc  e 
            {}\mRightarrow{}  x  \mmember{}  pv11\_p1\_LeaderState(Cmd;ldrs$_{uid}$;f)(e'')
            {}\mRightarrow{}  (<s,  c>  \mmember{}  snd(snd(x))))
25.  (<s,  c>  \mmember{}  pv11\_p1\_propose'base(Cmd;f)(e')  \mwedge{}  (\mneg{}\muparrow{}(pv11\_p1\_in\_domain(Cmd)  s  proposals)))
\mvee{}  (\mexists{}pvals:(pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)  List
        \mexists{}b:pv11\_p1\_Ballot\_Num()
          (<bnum,  pvals>  \mmember{}  pv11\_p1\_adopted'base(Cmd;f)(e')
          \mwedge{}  (<b,  s,  c>  \mmember{}  pvals)
          \mwedge{}  (\mforall{}b':pv11\_p1\_Ballot\_Num().  \mforall{}c':Cmd.
                    ((<b',  s,  c'>  \mmember{}  pvals)  {}\mRightarrow{}  (\muparrow{}(pv11\_p1\_leq\_bnum(ldrs$_{uid}$)  b'  b))))))
26.  (e'  <loc  e)
27.  e''  :  E@i
28.  (e'  <loc  e'')@i
29.  e''  \mleq{}loc  e  @i
\mvdash{}  (<s,  c>  \mmember{}  snd(snd(pv11\_p1\_LeaderStateFun(Cmd;ldrs$_{uid}$;f;es;e''))))


By

---

Latex:
(InstHyp  [\mkleeneopen{}e''\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}pv11\_p1\_LeaderStateFun(Cmd;ldrs$_{uid}$;f;es;e'')\mkleeneclose{}]  (-6)\mcdot{}
  THEN  Auto
  THEN  BLemma  `pv11\_p1\_LeaderState-classrel`
  THEN  Auto)

---

Home Index