---

Step * 1 5 of Lemma pv11_p1_ldr_mem_adopted


1. Cmd : {T:Type| valueall-type(T)} @i'
2. f : pv11_p1_headers_type{i:l}(Cmd)@i'
3. (f [decision]) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
4. (f [propose]) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
5. (f ``pv11_p1 adopted``) = (pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List)) ∈ Type
6. (f ``pv11_p1 preempted``) = pv11_p1_Ballot_Num() ∈ Type
7. (f ``pv11_p1 p2b``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × pv11_p1_Ballot_Num()) ∈ Type
8. (f ``pv11_p1 p2a``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) ∈ Type
9. (f ``pv11_p1 p1b``)
= (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List))
∈ Type
10. (f ``pv11_p1 p1a``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num()) ∈ Type
11. f ∈ Name ─→ Type
12. es : EO+(Message(f))@i'
13. e1 : E@i
14. e2 : E@i
15. ldrs_uid : Id ─→ ℤ@i
16. v5 : pv11_p1_Ballot_Num()@i
17. v9 : 𝔹@i
18. v10 : (ℤ × Cmd) List@i
19. v3 : pv11_p1_Ballot_Num()@i
20. v7 : 𝔹@i
21. v8 : (ℤ × Cmd) List@i
22. y : pv11_p1_Ballot_Num()@i
23. (e1 <loc e2)@i
24. inr inr y   ∈ pv11_p1_propose'base(Cmd;f) (+) pv11_p1_adopted'base(Cmd;f) (+) pv11_p1_preempted'base(Cmd;f)(e1)@i
25. <v5, v9, v10> ∈
     Memory-loc-class(pv11_p1_on_propose(Cmd) + pv11_p1_when_adopted(Cmd;ldrs_uid) + ...;λloc.{pv11_p1_init_leader(Cmd) 
                                                                                               loc};... (+) ...)(e1)
26. <v3, v7, v8> ∈
     Memory-loc-class(pv11_p1_on_propose(Cmd) + pv11_p1_when_adopted(Cmd;ldrs_uid) + ...;λloc.{pv11_p1_init_leader(Cmd) 
                                                                                               loc};... (+) ...)(e2)
27. x1 : pv11_p1_Ballot_Num()@i
28. x2 : (pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List@i
29. s1 : pv11_p1_Ballot_Num()@i
30. s3 : 𝔹@i
31. s4 : (ℤ × Cmd) List@i
32. e : E@i
33. e1 ≤loc e @i
34. (e <loc e2)@i
35. inr (inl <x1, x2>)  ∈ pv11_p1_propose'base(Cmd;f) (+) pv11_p1_adopted'base(Cmd;f) (+) pv11_p1_preempted'base(Cmd;f)(\000Ce)@i
36. <s1, s3, s4> ∈
     Memory-loc-class(pv11_p1_on_propose(Cmd) + pv11_p1_when_adopted(Cmd;ldrs_uid) + ...;λloc.{pv11_p1_init_leader(Cmd) 
                                                                                               loc};... (+) ...)(e)@i
37. x1 = s1 ∈ pv11_p1_Ballot_Num()
38. s1 = x1 ∈ pv11_p1_Ballot_Num()@i
39. s : ℤ@i
40. b : pv11_p1_Ballot_Num()@i
41. c : Cmd@i
42. (<s, c> ∈ s4)@i
⊢ ∃y:ℤ × Cmd. ((y ∈ pv11_p1_update_proposals(Cmd) s4 (pv11_p1_pmax(Cmd;ldrs_uid) x2)) ∧ (s = (fst(y)) ∈ ℤ))
BY
{ ((InstLemma `pv11_p1_upd_left` [⌈Cmd⌉;⌈s4⌉;⌈pv11_p1_pmax(Cmd;ldrs_uid) x2⌉;⌈s⌉;⌈c⌉]⋅ THENA Auto)
   THEN ExRepD
   THEN InstConcl [⌈<s, c'>⌉]⋅
   THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  Cmd  :  \{T:Type|  valueall-type(T)\}  @i'
2.  f  :  pv11\_p1\_headers\_type\{i:l\}(Cmd)@i'
3.  (f  [decision])  =  (\mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)
4.  (f  [propose])  =  (\mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)
5.  (f  ``pv11\_p1  adopted``)  =  (pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  ((pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)  List))
6.  (f  ``pv11\_p1  preempted``)  =  pv11\_p1\_Ballot\_Num()
7.  (f  ``pv11\_p1  p2b``)  =  (Id  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num())
8.  (f  ``pv11\_p1  p2a``)  =  (Id  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)
9.  (f  ``pv11\_p1  p1b``)
=  (Id  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  ((pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)  List))
10.  (f  ``pv11\_p1  p1a``)  =  (Id  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num())
11.  f  \mmember{}  Name  {}\mrightarrow{}  Type
12.  es  :  EO+(Message(f))@i'
13.  e1  :  E@i
14.  e2  :  E@i
15.  ldrs$_{uid}$  :  Id  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}@i
16.  v5  :  pv11\_p1\_Ballot\_Num()@i
17.  v9  :  \mBbbB{}@i
18.  v10  :  (\mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)  List@i
19.  v3  :  pv11\_p1\_Ballot\_Num()@i
20.  v7  :  \mBbbB{}@i
21.  v8  :  (\mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)  List@i
22.  y  :  pv11\_p1\_Ballot\_Num()@i
23.  (e1  <loc  e2)@i
24.  inr  inr  y      \mmember{}
          pv11\_p1\_propose'base(Cmd;f)  (+)  pv11\_p1\_adopted'base(Cmd;f)  (+)  pv11\_p1\_preempted'base(Cmd;f)(
          e1)@i
25.  <v5,  v9,  v10>  \mmember{}
          Memory-loc-class(pv11\_p1\_on\_propose(Cmd)  +  pv11\_p1\_when\_adopted(Cmd;ldrs$_{uid}\000C$)  +  ...;...;...)(e1)
26.  <v3,  v7,  v8>  \mmember{}
          Memory-loc-class(pv11\_p1\_on\_propose(Cmd)  +  pv11\_p1\_when\_adopted(Cmd;ldrs$_{uid}\000C$)  +  ...;...;...)(e2)
27.  x1  :  pv11\_p1\_Ballot\_Num()@i
28.  x2  :  (pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)  List@i
29.  s1  :  pv11\_p1\_Ballot\_Num()@i
30.  s3  :  \mBbbB{}@i
31.  s4  :  (\mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)  List@i
32.  e  :  E@i
33.  e1  \mleq{}loc  e  @i
34.  (e  <loc  e2)@i
35.  inr  (inl  <x1,  x2>)    \mmember{}
          pv11\_p1\_propose'base(Cmd;f)  (+)  pv11\_p1\_adopted'base(Cmd;f)  (+)  pv11\_p1\_preempted'base(Cmd;f)(
          e)@i
36.  <s1,  s3,  s4>  \mmember{}
          Memory-loc-class(pv11\_p1\_on\_propose(Cmd)  +  pv11\_p1\_when\_adopted(Cmd;ldrs$_{uid}\000C$)  +  ...;...;...)(
          e)@i
37.  x1  =  s1
38.  s1  =  x1@i
39.  s  :  \mBbbZ{}@i
40.  b  :  pv11\_p1\_Ballot\_Num()@i
41.  c  :  Cmd@i
42.  (<s,  c>  \mmember{}  s4)@i
\mvdash{}  \mexists{}y:\mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd
      ((y  \mmember{}  pv11\_p1\_update\_proposals(Cmd)  s4  (pv11\_p1\_pmax(Cmd;ldrs$_{uid}$)  x2))  \mwedge{}\000C  (s  =  (fst(y))))


By

---

Latex:
((InstLemma  `pv11\_p1\_upd\_left`  [\mkleeneopen{}Cmd\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}s4\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}pv11\_p1\_pmax(Cmd;ldrs$_{uid}$)  x2\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\000Cs\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}c\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  ExRepD
  THEN  InstConcl  [\mkleeneopen{}<s,  c'>\mkleeneclose{}]\mcdot{}
  THEN  Auto)

---

Home Index