---

Step * 1 of Lemma pv11_p1_ldr_state_adopted_pred


1. Cmd : {T:Type| valueall-type(T)} @i'
2. f : pv11_p1_headers_type{i:l}(Cmd)@i'
3. (f [decision]) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
4. (f [propose]) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
5. (f ``pv11_p1 adopted``) = (pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List)) ∈ Type
6. (f ``pv11_p1 preempted``) = pv11_p1_Ballot_Num() ∈ Type
7. (f ``pv11_p1 p2b``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × pv11_p1_Ballot_Num()) ∈ Type
8. (f ``pv11_p1 p2a``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) ∈ Type
9. (f ``pv11_p1 p1b``)
= (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List))
∈ Type
10. (f ``pv11_p1 p1a``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num()) ∈ Type
11. f ∈ Name ─→ Type
12. es : EO+(Message(f))@i'
13. e1 : E@i
14. e2 : E@i
15. ldrs_uid : Id ─→ ℤ@i
16. bnum : pv11_p1_Ballot_Num()@i
17. active : 𝔹@i
18. proposals : (ℤ × Cmd) List@i
19. pvals : (pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List@i
20. (e1 <loc e2)@i
21. <bnum, active, proposals> ∈ pv11_p1_LeaderState(Cmd;ldrs_uid;f)(e1)@i
22. header(e1) = ``pv11_p1 adopted`` ∈ Name@i
23. <bnum, pvals> = msgval(e1) ∈ (pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List))@i
24. e : {e:E| ¬↑first(e)} 
25. e1 = pred(e) ∈ E
26. e ≤loc e2 
27. e1 = pred(e) ∈ E
28. e ≤loc e2 
⊢ <bnum, tt, pv11_p1_update_proposals(Cmd) proposals (pv11_p1_pmax(Cmd;ldrs_uid) pvals)> ∈
   pv11_p1_LeaderState(Cmd;ldrs_uid;f)(e)
BY
{ ((RWO "pv11_p1_ldr_state_eq2" 0 THENA Auto)
   THEN Repeat (AutoSplit)
   THEN Try (Complete ((UnfoldAtAddr [1;3] (-1) THEN FLemma `member-base-class` [-1]⋅ THEN Auto)))) }

1
1. Cmd : {T:Type| valueall-type(T)} @i'
2. f : pv11_p1_headers_type{i:l}(Cmd)@i'
3. (f [decision]) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
4. (f [propose]) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
5. (f ``pv11_p1 adopted``) = (pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List)) ∈ Type
6. (f ``pv11_p1 preempted``) = pv11_p1_Ballot_Num() ∈ Type
7. (f ``pv11_p1 p2b``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × pv11_p1_Ballot_Num()) ∈ Type
8. (f ``pv11_p1 p2a``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) ∈ Type
9. (f ``pv11_p1 p1b``)
= (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List))
∈ Type
10. (f ``pv11_p1 p1a``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num()) ∈ Type
11. f ∈ Name ─→ Type
12. es : EO+(Message(f))@i'
13. e1 : E@i
14. e2 : E@i
15. ldrs_uid : Id ─→ ℤ@i
16. bnum : pv11_p1_Ballot_Num()@i
17. active : 𝔹@i
18. proposals : (ℤ × Cmd) List@i
19. pvals : (pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List@i
20. (e1 <loc e2)@i
21. <bnum, active, proposals> ∈ pv11_p1_LeaderState(Cmd;ldrs_uid;f)(e1)@i
22. header(e1) = ``pv11_p1 adopted`` ∈ Name@i
23. <bnum, pvals> = msgval(e1) ∈ (pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List))@i
24. e : {e:E| ¬↑first(e)} 
25. ¬↑pred(e) ∈b pv11_p1_propose'base(Cmd;f)
26. ¬↑first(e)
27. e1 = pred(e) ∈ E
28. e ≤loc e2 
29. e1 = pred(e) ∈ E
30. e ≤loc e2 
31. ↑pred(e) ∈b pv11_p1_adopted'base(Cmd;f)
⊢ ∃x:pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List)
   ∃s:pv11_p1_Ballot_Num() × 𝔹 × ((ℤ × Cmd) List)
    (x ∈ pv11_p1_adopted'base(Cmd;f)(pred(e))
    ∧ s ∈ pv11_p1_LeaderState(Cmd;ldrs_uid;f)(pred(e))
    ∧ (<bnum, tt, pv11_p1_update_proposals(Cmd) proposals (pv11_p1_pmax(Cmd;ldrs_uid) pvals)>
      = (pv11_p1_when_adopted(Cmd;ldrs_uid) loc(e) x s)
      ∈ (pv11_p1_Ballot_Num() × 𝔹 × ((ℤ × Cmd) List))))

2
1. Cmd : {T:Type| valueall-type(T)} @i'
2. f : pv11_p1_headers_type{i:l}(Cmd)@i'
3. (f [decision]) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
4. (f [propose]) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
5. (f ``pv11_p1 adopted``) = (pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List)) ∈ Type
6. (f ``pv11_p1 preempted``) = pv11_p1_Ballot_Num() ∈ Type
7. (f ``pv11_p1 p2b``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × pv11_p1_Ballot_Num()) ∈ Type
8. (f ``pv11_p1 p2a``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) ∈ Type
9. (f ``pv11_p1 p1b``)
= (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List))
∈ Type
10. (f ``pv11_p1 p1a``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num()) ∈ Type
11. f ∈ Name ─→ Type
12. es : EO+(Message(f))@i'
13. e1 : E@i
14. e2 : E@i
15. ldrs_uid : Id ─→ ℤ@i
16. bnum : pv11_p1_Ballot_Num()@i
17. active : 𝔹@i
18. proposals : (ℤ × Cmd) List@i
19. pvals : (pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List@i
20. (e1 <loc e2)@i
21. <bnum, active, proposals> ∈ pv11_p1_LeaderState(Cmd;ldrs_uid;f)(e1)@i
22. header(e1) = ``pv11_p1 adopted`` ∈ Name@i
23. <bnum, pvals> = msgval(e1) ∈ (pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List))@i
24. e : {e:E| ¬↑first(e)} 
25. ¬↑pred(e) ∈b pv11_p1_adopted'base(Cmd;f)
26. ¬↑pred(e) ∈b pv11_p1_propose'base(Cmd;f)
27. ¬↑first(e)
28. e1 = pred(e) ∈ E
29. e ≤loc e2 
30. e1 = pred(e) ∈ E
31. e ≤loc e2 
32. ↑pred(e) ∈b pv11_p1_preempted'base(Cmd;f)
⊢ ∃x:pv11_p1_Ballot_Num()
   ∃s:pv11_p1_Ballot_Num() × 𝔹 × ((ℤ × Cmd) List)
    (x ∈ pv11_p1_preempted'base(Cmd;f)(pred(e))
    ∧ s ∈ pv11_p1_LeaderState(Cmd;ldrs_uid;f)(pred(e))
    ∧ (<bnum, tt, pv11_p1_update_proposals(Cmd) proposals (pv11_p1_pmax(Cmd;ldrs_uid) pvals)>
      = (pv11_p1_when_preempted(Cmd;ldrs_uid) loc(e) x s)
      ∈ (pv11_p1_Ballot_Num() × 𝔹 × ((ℤ × Cmd) List))))

3
1. Cmd : {T:Type| valueall-type(T)} @i'
2. f : pv11_p1_headers_type{i:l}(Cmd)@i'
3. (f [decision]) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
4. (f [propose]) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
5. (f ``pv11_p1 adopted``) = (pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List)) ∈ Type
6. (f ``pv11_p1 preempted``) = pv11_p1_Ballot_Num() ∈ Type
7. (f ``pv11_p1 p2b``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × pv11_p1_Ballot_Num()) ∈ Type
8. (f ``pv11_p1 p2a``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) ∈ Type
9. (f ``pv11_p1 p1b``)
= (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List))
∈ Type
10. (f ``pv11_p1 p1a``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num()) ∈ Type
11. f ∈ Name ─→ Type
12. es : EO+(Message(f))@i'
13. e1 : E@i
14. e2 : E@i
15. ldrs_uid : Id ─→ ℤ@i
16. bnum : pv11_p1_Ballot_Num()@i
17. active : 𝔹@i
18. proposals : (ℤ × Cmd) List@i
19. pvals : (pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List@i
20. (e1 <loc e2)@i
21. <bnum, active, proposals> ∈ pv11_p1_LeaderState(Cmd;ldrs_uid;f)(e1)@i
22. header(e1) = ``pv11_p1 adopted`` ∈ Name@i
23. <bnum, pvals> = msgval(e1) ∈ (pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List))@i
24. e : {e:E| ¬↑first(e)} 
25. ¬↑pred(e) ∈b pv11_p1_preempted'base(Cmd;f)
26. ¬↑pred(e) ∈b pv11_p1_adopted'base(Cmd;f)
27. ¬↑pred(e) ∈b pv11_p1_propose'base(Cmd;f)
28. ¬↑first(e)
29. e1 = pred(e) ∈ E
30. e ≤loc e2 
31. e1 = pred(e) ∈ E
32. e ≤loc e2 
⊢ <bnum, tt, pv11_p1_update_proposals(Cmd) proposals (pv11_p1_pmax(Cmd;ldrs_uid) pvals)> ∈
   pv11_p1_LeaderState(Cmd;ldrs_uid;f)(pred(e))

---

Latex:

---

Latex:

1.  Cmd  :  \{T:Type|  valueall-type(T)\}  @i'
2.  f  :  pv11\_p1\_headers\_type\{i:l\}(Cmd)@i'
3.  (f  [decision])  =  (\mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)
4.  (f  [propose])  =  (\mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)
5.  (f  ``pv11\_p1  adopted``)  =  (pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  ((pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)  List))
6.  (f  ``pv11\_p1  preempted``)  =  pv11\_p1\_Ballot\_Num()
7.  (f  ``pv11\_p1  p2b``)  =  (Id  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num())
8.  (f  ``pv11\_p1  p2a``)  =  (Id  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)
9.  (f  ``pv11\_p1  p1b``)
=  (Id  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  ((pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)  List))
10.  (f  ``pv11\_p1  p1a``)  =  (Id  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num())
11.  f  \mmember{}  Name  {}\mrightarrow{}  Type
12.  es  :  EO+(Message(f))@i'
13.  e1  :  E@i
14.  e2  :  E@i
15.  ldrs$_{uid}$  :  Id  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}@i
16.  bnum  :  pv11\_p1\_Ballot\_Num()@i
17.  active  :  \mBbbB{}@i
18.  proposals  :  (\mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)  List@i
19.  pvals  :  (pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)  List@i
20.  (e1  <loc  e2)@i
21.  <bnum,  active,  proposals>  \mmember{}  pv11\_p1\_LeaderState(Cmd;ldrs$_{uid}$;f)(e1)@i
22.  header(e1)  =  ``pv11\_p1  adopted``@i
23.  <bnum,  pvals>  =  msgval(e1)@i
24.  e  :  \{e:E|  \mneg{}\muparrow{}first(e)\} 
25.  e1  =  pred(e)
26.  e  \mleq{}loc  e2 
27.  e1  =  pred(e)
28.  e  \mleq{}loc  e2 
\mvdash{}  <bnum,  tt,  pv11\_p1\_update\_proposals(Cmd)  proposals  (pv11\_p1\_pmax(Cmd;ldrs$_{uid}\mbackslash{}f\000Cf24)  pvals)>  \mmember{}
      pv11\_p1\_LeaderState(Cmd;ldrs$_{uid}$;f)(e)


By

---

Latex:
((RWO  "pv11\_p1\_ldr\_state\_eq2"  0  THENA  Auto)
  THEN  Repeat  (AutoSplit)
  THEN  Try  (Complete  ((UnfoldAtAddr  [1;3]  (-1)  THEN  FLemma  `member-base-class`  [-1]\mcdot{}  THEN  Auto))))

---

Home Index