---

Step * of Lemma pv11_p1_ldr_state_eq2

∀Cmd:ValueAllType. ∀f:pv11_p1_headers_type{i:l}(Cmd). ∀es:EO+(Message(f)). ∀e:E. ∀ldrs_uid:Id ─→ ℤ.
∀v:pv11_p1_Ballot_Num() × 𝔹 × ((ℤ × Cmd) List).
  uiff(v ∈ pv11_p1_LeaderState(Cmd;ldrs_uid;f)(e);if first(e)
                                                    then v
                                                         = (pv11_p1_init_leader(Cmd) loc(e))
                                                         ∈ (pv11_p1_Ballot_Num() × 𝔹 × ((ℤ × Cmd) List))
  if pred(e) ∈b pv11_p1_propose'base(Cmd;f)
    then ∃x:ℤ × Cmd
          ∃s:pv11_p1_Ballot_Num() × 𝔹 × ((ℤ × Cmd) List)
           (x ∈ pv11_p1_propose'base(Cmd;f)(pred(e))
           ∧ s ∈ pv11_p1_LeaderState(Cmd;ldrs_uid;f)(pred(e))
           ∧ (v = (pv11_p1_on_propose(Cmd) loc(e) x s) ∈ (pv11_p1_Ballot_Num() × 𝔹 × ((ℤ × Cmd) List))))
  if pred(e) ∈b pv11_p1_adopted'base(Cmd;f)
    then ∃x:pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List)
          ∃s:pv11_p1_Ballot_Num() × 𝔹 × ((ℤ × Cmd) List)
           (x ∈ pv11_p1_adopted'base(Cmd;f)(pred(e))
           ∧ s ∈ pv11_p1_LeaderState(Cmd;ldrs_uid;f)(pred(e))
           ∧ (v = (pv11_p1_when_adopted(Cmd;ldrs_uid) loc(e) x s) ∈ (pv11_p1_Ballot_Num() × 𝔹 × ((ℤ × Cmd) List))))
  if pred(e) ∈b pv11_p1_preempted'base(Cmd;f)
    then ∃x:pv11_p1_Ballot_Num()
          ∃s:pv11_p1_Ballot_Num() × 𝔹 × ((ℤ × Cmd) List)
           (x ∈ pv11_p1_preempted'base(Cmd;f)(pred(e))
           ∧ s ∈ pv11_p1_LeaderState(Cmd;ldrs_uid;f)(pred(e))
           ∧ (v = (pv11_p1_when_preempted(Cmd;ldrs_uid) loc(e) x s) ∈ (pv11_p1_Ballot_Num() × 𝔹 × ((ℤ × Cmd) List))))
  else v ∈ pv11_p1_LeaderState(Cmd;ldrs_uid;f)(pred(e))
  fi )
BY
{ StartEmlProof }

1
1. Cmd : {T:Type| valueall-type(T)} @i'
2. f : pv11_p1_headers_type{i:l}(Cmd)@i'
3. (f [decision]) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
4. (f [propose]) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
5. (f ``pv11_p1 adopted``) = (pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List)) ∈ Type
6. (f ``pv11_p1 preempted``) = pv11_p1_Ballot_Num() ∈ Type
7. (f ``pv11_p1 p2b``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × pv11_p1_Ballot_Num()) ∈ Type
8. (f ``pv11_p1 p2a``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) ∈ Type
9. (f ``pv11_p1 p1b``)
= (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List))
∈ Type
10. (f ``pv11_p1 p1a``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num()) ∈ Type
11. f ∈ Name ─→ Type
12. es : EO+(Message(f))@i'
13. e : E@i
14. ldrs_uid : Id ─→ ℤ@i
15. v : pv11_p1_Ballot_Num() × 𝔹 × ((ℤ × Cmd) List)@i
⊢ uiff(v ∈ pv11_p1_LeaderState(Cmd;ldrs_uid;f)(e);if first(e)
                                                    then v
                                                         = (pv11_p1_init_leader(Cmd) loc(e))
                                                         ∈ (pv11_p1_Ballot_Num() × 𝔹 × ((ℤ × Cmd) List))
if pred(e) ∈b pv11_p1_propose'base(Cmd;f)
  then ∃x:ℤ × Cmd
        ∃s:pv11_p1_Ballot_Num() × 𝔹 × ((ℤ × Cmd) List)
         (x ∈ pv11_p1_propose'base(Cmd;f)(pred(e))
         ∧ s ∈ pv11_p1_LeaderState(Cmd;ldrs_uid;f)(pred(e))
         ∧ (v = (pv11_p1_on_propose(Cmd) loc(e) x s) ∈ (pv11_p1_Ballot_Num() × 𝔹 × ((ℤ × Cmd) List))))
if pred(e) ∈b pv11_p1_adopted'base(Cmd;f)
  then ∃x:pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List)
        ∃s:pv11_p1_Ballot_Num() × 𝔹 × ((ℤ × Cmd) List)
         (x ∈ pv11_p1_adopted'base(Cmd;f)(pred(e))
         ∧ s ∈ pv11_p1_LeaderState(Cmd;ldrs_uid;f)(pred(e))
         ∧ (v = (pv11_p1_when_adopted(Cmd;ldrs_uid) loc(e) x s) ∈ (pv11_p1_Ballot_Num() × 𝔹 × ((ℤ × Cmd) List))))
if pred(e) ∈b pv11_p1_preempted'base(Cmd;f)
  then ∃x:pv11_p1_Ballot_Num()
        ∃s:pv11_p1_Ballot_Num() × 𝔹 × ((ℤ × Cmd) List)
         (x ∈ pv11_p1_preempted'base(Cmd;f)(pred(e))
         ∧ s ∈ pv11_p1_LeaderState(Cmd;ldrs_uid;f)(pred(e))
         ∧ (v = (pv11_p1_when_preempted(Cmd;ldrs_uid) loc(e) x s) ∈ (pv11_p1_Ballot_Num() × 𝔹 × ((ℤ × Cmd) List))))
else v ∈ pv11_p1_LeaderState(Cmd;ldrs_uid;f)(pred(e))
fi )

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}Cmd:ValueAllType.  \mforall{}f:pv11\_p1\_headers\_type\{i:l\}(Cmd).  \mforall{}es:EO+(Message(f)).  \mforall{}e:E.  \mforall{}ldrs$_\mbackslash{}ff7\000Cbuid}$:Id  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}.
\mforall{}v:pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbB{}  \mtimes{}  ((\mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)  List).
    uiff(v  \mmember{}  pv11\_p1\_LeaderState(Cmd;ldrs$_{uid}$;f)(e);if  first(e)
                                                                                                      then  v  =  (pv11\_p1\_init\_leader(Cmd)  loc(e))
    if  pred(e)  \mmember{}\msubb{}  pv11\_p1\_propose'base(Cmd;f)
        then  \mexists{}x:\mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd
                    \mexists{}s:pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbB{}  \mtimes{}  ((\mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)  List)
                      (x  \mmember{}  pv11\_p1\_propose'base(Cmd;f)(pred(e))
                      \mwedge{}  s  \mmember{}  pv11\_p1\_LeaderState(Cmd;ldrs$_{uid}$;f)(pred(e))
                      \mwedge{}  (v  =  (pv11\_p1\_on\_propose(Cmd)  loc(e)  x  s)))
    if  pred(e)  \mmember{}\msubb{}  pv11\_p1\_adopted'base(Cmd;f)
        then  \mexists{}x:pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  ((pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)  List)
                    \mexists{}s:pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbB{}  \mtimes{}  ((\mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)  List)
                      (x  \mmember{}  pv11\_p1\_adopted'base(Cmd;f)(pred(e))
                      \mwedge{}  s  \mmember{}  pv11\_p1\_LeaderState(Cmd;ldrs$_{uid}$;f)(pred(e))
                      \mwedge{}  (v  =  (pv11\_p1\_when\_adopted(Cmd;ldrs$_{uid}$)  loc(e)  x  s)))
    if  pred(e)  \mmember{}\msubb{}  pv11\_p1\_preempted'base(Cmd;f)
        then  \mexists{}x:pv11\_p1\_Ballot\_Num()
                    \mexists{}s:pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbB{}  \mtimes{}  ((\mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)  List)
                      (x  \mmember{}  pv11\_p1\_preempted'base(Cmd;f)(pred(e))
                      \mwedge{}  s  \mmember{}  pv11\_p1\_LeaderState(Cmd;ldrs$_{uid}$;f)(pred(e))
                      \mwedge{}  (v  =  (pv11\_p1\_when\_preempted(Cmd;ldrs$_{uid}$)  loc(e)  x  s)))
    else  v  \mmember{}  pv11\_p1\_LeaderState(Cmd;ldrs$_{uid}$;f)(pred(e))
    fi  )


By

---

Latex:
StartEmlProof

---

Home Index