---

Step * 3 of Lemma pv11_p1_ldr_state_eq


1. Cmd : {T:Type| valueall-type(T)} 
2. f : pv11_p1_headers_type{i:l}(Cmd)
3. (f [decision]) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
4. (f [propose]) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
5. (f ``pv11_p1 adopted``) = (pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List)) ∈ Type
6. (f ``pv11_p1 preempted``) = pv11_p1_Ballot_Num() ∈ Type
7. (f ``pv11_p1 p2b``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × pv11_p1_Ballot_Num()) ∈ Type
8. (f ``pv11_p1 p2a``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) ∈ Type
9. (f ``pv11_p1 p1b``)
= (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List))
∈ Type
10. (f ``pv11_p1 p1a``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num()) ∈ Type
11. f ∈ Name ─→ Type
12. es : EO+(Message(f))
13. e : E
14. ¬↑pred(e) ∈b pv11_p1_propose'base(Cmd;f)
15. ¬↑first(e)
16. ldrs_uid : Id ─→ ℤ
17. v : pv11_p1_Ballot_Num() × 𝔹 × ((ℤ × Cmd) List)
18. ↑pred(e) ∈b pv11_p1_adopted'base(Cmd;f)
19. x : pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List)
20. s : pv11_p1_Ballot_Num() × 𝔹 × ((ℤ × Cmd) List)
21. x ∈ pv11_p1_adopted'base(Cmd;f)(pred(e))
22. s ∈ pv11_p1_LeaderState(Cmd;ldrs_uid;f)(pred(e))
23. v = (pv11_p1_when_adopted(Cmd;ldrs_uid) loc(e) x s) ∈ (pv11_p1_Ballot_Num() × 𝔹 × ((ℤ × Cmd) List))
⊢ ↓∃b:pv11_p1_Ballot_Num() × 𝔹 × ((ℤ × Cmd) List)
    (b ∈ pv11_p1_LeaderState(Cmd;ldrs_uid;f)(pred(e))
    ∧ ((∃a1:ℤ × Cmd
         (a1 ∈ pv11_p1_propose'base(Cmd;f)(pred(e))
         ∧ (v = (pv11_p1_on_propose(Cmd) loc(e) a1 b) ∈ (pv11_p1_Ballot_Num() × 𝔹 × ((ℤ × Cmd) List)))))
      ∨ (∃a2:pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List)
          (a2 ∈ pv11_p1_adopted'base(Cmd;f)(pred(e))
          ∧ (v = (pv11_p1_when_adopted(Cmd;ldrs_uid) loc(e) a2 b) ∈ (pv11_p1_Ballot_Num() × 𝔹 × ((ℤ × Cmd) List)))))
      ∨ (∃a3:pv11_p1_Ballot_Num()
          (a3 ∈ pv11_p1_preempted'base(Cmd;f)(pred(e))
          ∧ (v = (pv11_p1_when_preempted(Cmd;ldrs_uid) loc(e) a3 b) ∈ (pv11_p1_Ballot_Num() × 𝔹 × ((ℤ × Cmd) List)))))))
BY
{ (D 0 THEN InstConcl [⌈s⌉]⋅ THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  Cmd  :  \{T:Type|  valueall-type(T)\} 
2.  f  :  pv11\_p1\_headers\_type\{i:l\}(Cmd)
3.  (f  [decision])  =  (\mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)
4.  (f  [propose])  =  (\mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)
5.  (f  ``pv11\_p1  adopted``)  =  (pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  ((pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)  List))
6.  (f  ``pv11\_p1  preempted``)  =  pv11\_p1\_Ballot\_Num()
7.  (f  ``pv11\_p1  p2b``)  =  (Id  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num())
8.  (f  ``pv11\_p1  p2a``)  =  (Id  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)
9.  (f  ``pv11\_p1  p1b``)
=  (Id  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  ((pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)  List))
10.  (f  ``pv11\_p1  p1a``)  =  (Id  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num())
11.  f  \mmember{}  Name  {}\mrightarrow{}  Type
12.  es  :  EO+(Message(f))
13.  e  :  E
14.  \mneg{}\muparrow{}pred(e)  \mmember{}\msubb{}  pv11\_p1\_propose'base(Cmd;f)
15.  \mneg{}\muparrow{}first(e)
16.  ldrs$_{uid}$  :  Id  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}
17.  v  :  pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbB{}  \mtimes{}  ((\mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)  List)
18.  \muparrow{}pred(e)  \mmember{}\msubb{}  pv11\_p1\_adopted'base(Cmd;f)
19.  x  :  pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  ((pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)  List)
20.  s  :  pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbB{}  \mtimes{}  ((\mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)  List)
21.  x  \mmember{}  pv11\_p1\_adopted'base(Cmd;f)(pred(e))
22.  s  \mmember{}  pv11\_p1\_LeaderState(Cmd;ldrs$_{uid}$;f)(pred(e))
23.  v  =  (pv11\_p1\_when\_adopted(Cmd;ldrs$_{uid}$)  loc(e)  x  s)
\mvdash{}  \mdownarrow{}\mexists{}b:pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbB{}  \mtimes{}  ((\mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)  List)
        (b  \mmember{}  pv11\_p1\_LeaderState(Cmd;ldrs$_{uid}$;f)(pred(e))
        \mwedge{}  ((\mexists{}a1:\mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd
                  (a1  \mmember{}  pv11\_p1\_propose'base(Cmd;f)(pred(e))  \mwedge{}  (v  =  (pv11\_p1\_on\_propose(Cmd)  loc(e)  a1  b))))
            \mvee{}  (\mexists{}a2:pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  ((pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)  List)
                    (a2  \mmember{}  pv11\_p1\_adopted'base(Cmd;f)(pred(e))
                    \mwedge{}  (v  =  (pv11\_p1\_when\_adopted(Cmd;ldrs$_{uid}$)  loc(e)  a2  b))))
            \mvee{}  (\mexists{}a3:pv11\_p1\_Ballot\_Num()
                    (a3  \mmember{}  pv11\_p1\_preempted'base(Cmd;f)(pred(e))
                    \mwedge{}  (v  =  (pv11\_p1\_when\_preempted(Cmd;ldrs$_{uid}$)  loc(e)  a3  b))))))


By

---

Latex:
(D  0  THEN  InstConcl  [\mkleeneopen{}s\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THEN  Auto)

---

Home Index