Step * 1 1 1 of Lemma pv11_p1_scout_state_from_p1bs


1. Cmd {T:Type| valueall-type(T)} @i'
2. pv11_p1_headers_type{i:l}(Cmd)@i'
3. (f [decision]) (ℤ × Cmd) ∈ Type
4. (f [propose]) (ℤ × Cmd) ∈ Type
5. (f ``pv11_p1 adopted``) (pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List)) ∈ Type
6. (f ``pv11_p1 preempted``) pv11_p1_Ballot_Num() ∈ Type
7. (f ``pv11_p1 p2b``) (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × pv11_p1_Ballot_Num()) ∈ Type
8. (f ``pv11_p1 p2a``) (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) ∈ Type
9. (f ``pv11_p1 p1b``)
(Id × pv11_p1_Ballot_Num() × pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List))
∈ Type
10. (f ``pv11_p1 p1a``) (Id × pv11_p1_Ballot_Num()) ∈ Type
11. f ∈ Name ─→ Type
12. es EO+(Message(f))@i'
13. start E@i
14. accpts bag(Id)@i
15. ldrs bag(Id)@i
16. ldrs_uid Id ─→ ℤ@i
17. reps bag(Id)@i
18. Inj(Id;ℤ;ldrs_uid)@i
19. pv11_p1_message-constraint{paxos-v11-part1.esh:o}(Cmd; accpts; ldrs; ldrs_uid; reps; f; es)@i
20. E@i
21. start ≤loc @i
22. bnum pv11_p1_Ballot_Num()@i
23. waitfor bag(Id)@i
24. pvalues (pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List@i
25. <waitfor, pvalues> (pv11_p1_on_p1b(Cmd) bnum loc(e) msgval(e) <accpts, []>) ∈ (bag(Id) × ((pv11_p1_Ballot_Num() × \000Cℤ × Cmd) List))
26. ↑e ∈b Base(``pv11_p1 p1b``)
27. ↑first(e)
28. header(e) ``pv11_p1 p1b`` ∈ Name
29. has-es-info-type(es;e;f;Id × pv11_p1_Ballot_Num() × pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List))
⊢ ↓∃L:E List
    ((waitfor [i∈accpts|¬bi ∈b map(λe.loc(e);L))] ∈ bag(Id))
    ∧ (∀pv:pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd
         ((pv ∈ pvalues) ⇐⇒ (pv ∈ concat(map(λe.(snd(pv11_p1_AcceptorStateFun(Cmd;ldrs_uid;f;es;e)));L)))))
    ∧ (∀e':E
         ((e' ∈ L)
          ((e' < e)
            ∧ loc(e') ↓∈ accpts
            ∧ (bnum (fst(pv11_p1_AcceptorStateFun(Cmd;ldrs_uid;f;es;e'))) ∈ pv11_p1_Ballot_Num())))))
BY
RepUR ``pv11_p1_on_p1b let`` (-5) }

1
1. Cmd {T:Type| valueall-type(T)} @i'
2. pv11_p1_headers_type{i:l}(Cmd)@i'
3. (f [decision]) (ℤ × Cmd) ∈ Type
4. (f [propose]) (ℤ × Cmd) ∈ Type
5. (f ``pv11_p1 adopted``) (pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List)) ∈ Type
6. (f ``pv11_p1 preempted``) pv11_p1_Ballot_Num() ∈ Type
7. (f ``pv11_p1 p2b``) (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × pv11_p1_Ballot_Num()) ∈ Type
8. (f ``pv11_p1 p2a``) (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) ∈ Type
9. (f ``pv11_p1 p1b``)
(Id × pv11_p1_Ballot_Num() × pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List))
∈ Type
10. (f ``pv11_p1 p1a``) (Id × pv11_p1_Ballot_Num()) ∈ Type
11. f ∈ Name ─→ Type
12. es EO+(Message(f))@i'
13. start E@i
14. accpts bag(Id)@i
15. ldrs bag(Id)@i
16. ldrs_uid Id ─→ ℤ@i
17. reps bag(Id)@i
18. Inj(Id;ℤ;ldrs_uid)@i
19. pv11_p1_message-constraint{paxos-v11-part1.esh:o}(Cmd; accpts; ldrs; ldrs_uid; reps; f; es)@i
20. E@i
21. start ≤loc @i
22. bnum pv11_p1_Ballot_Num()@i
23. waitfor bag(Id)@i
24. pvalues (pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List@i
25. <waitfor, pvalues>
let acloc,b,b',pvals msgval(e) 
  in if (pv11_p1_eq_bnums() bnum b) ∧b (pv11_p1_eq_bnums() bnum b')
     then <accpts acloc, pv11_p1_append_news(Cmd) pv11_p1_same_pvalue(Cmd) [] pvals>
     else <accpts, []>
     fi   
∈ (bag(Id) × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List))
26. ↑e ∈b Base(``pv11_p1 p1b``)
27. ↑first(e)
28. header(e) ``pv11_p1 p1b`` ∈ Name
29. has-es-info-type(es;e;f;Id × pv11_p1_Ballot_Num() × pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List))
⊢ ↓∃L:E List
    ((waitfor [i∈accpts|¬bi ∈b map(λe.loc(e);L))] ∈ bag(Id))
    ∧ (∀pv:pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd
         ((pv ∈ pvalues) ⇐⇒ (pv ∈ concat(map(λe.(snd(pv11_p1_AcceptorStateFun(Cmd;ldrs_uid;f;es;e)));L)))))
    ∧ (∀e':E
         ((e' ∈ L)
          ((e' < e)
            ∧ loc(e') ↓∈ accpts
            ∧ (bnum (fst(pv11_p1_AcceptorStateFun(Cmd;ldrs_uid;f;es;e'))) ∈ pv11_p1_Ballot_Num())))))


Latex:



Latex:

1.  Cmd  :  \{T:Type|  valueall-type(T)\}  @i'
2.  f  :  pv11\_p1\_headers\_type\{i:l\}(Cmd)@i'
3.  (f  [decision])  =  (\mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)
4.  (f  [propose])  =  (\mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)
5.  (f  ``pv11\_p1  adopted``)  =  (pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  ((pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)  List))
6.  (f  ``pv11\_p1  preempted``)  =  pv11\_p1\_Ballot\_Num()
7.  (f  ``pv11\_p1  p2b``)  =  (Id  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num())
8.  (f  ``pv11\_p1  p2a``)  =  (Id  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)
9.  (f  ``pv11\_p1  p1b``)
=  (Id  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  ((pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)  List))
10.  (f  ``pv11\_p1  p1a``)  =  (Id  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num())
11.  f  \mmember{}  Name  {}\mrightarrow{}  Type
12.  es  :  EO+(Message(f))@i'
13.  start  :  E@i
14.  accpts  :  bag(Id)@i
15.  ldrs  :  bag(Id)@i
16.  ldrs$_{uid}$  :  Id  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}@i
17.  reps  :  bag(Id)@i
18.  Inj(Id;\mBbbZ{};ldrs$_{uid}$)@i
19.  pv11\_p1\_message-constraint\{paxos-v11-part1.esh:o\}(Cmd;  accpts;  ldrs;  ldrs$_{uid}\000C$;  reps;  f;  es)@i
20.  e  :  E@i
21.  start  \mleq{}loc  e  @i
22.  bnum  :  pv11\_p1\_Ballot\_Num()@i
23.  waitfor  :  bag(Id)@i
24.  pvalues  :  (pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)  List@i
25.  <waitfor,  pvalues>  =  (pv11\_p1\_on\_p1b(Cmd)  bnum  loc(e)  msgval(e)  <accpts,  []>)
26.  \muparrow{}e  \mmember{}\msubb{}  Base(``pv11\_p1  p1b``)
27.  \muparrow{}first(e)
28.  header(e)  =  ``pv11\_p1  p1b``
29.  has-es-info-type(es;e;f;Id
\mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num()
\mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num()
\mtimes{}  ((pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)  List))
\mvdash{}  \mdownarrow{}\mexists{}L:E  List
        ((waitfor  =  [i\mmember{}accpts|\mneg{}\msubb{}i  \mmember{}\msubb{}  map(\mlambda{}e.loc(e);L))])
        \mwedge{}  (\mforall{}pv:pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd
                  ((pv  \mmember{}  pvalues)
                  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  (pv  \mmember{}  concat(map(\mlambda{}e.(snd(pv11\_p1\_AcceptorStateFun(Cmd;ldrs$_{uid}$;\000Cf;es;e)));L)))))
        \mwedge{}  (\mforall{}e':E
                  ((e'  \mmember{}  L)
                  {}\mRightarrow{}  ((e'  <  e)
                        \mwedge{}  loc(e')  \mdownarrow{}\mmember{}  accpts
                        \mwedge{}  (bnum  =  (fst(pv11\_p1\_AcceptorStateFun(Cmd;ldrs$_{uid}$;f;es;e'))))\000C))))


By


Latex:
RepUR  ``pv11\_p1\_on\_p1b  let``  (-5)




Home Index