---

Step * of Lemma pv11_p1_validity-lemma

∀[Cmd:{T:Type| valueall-type(T)} ]
  ∀f:pv11_p1_headers_type{i:l}(Cmd). ∀es:EO+(Message(f)). ∀accpts,ldrs:bag(Id). ∀ldrs_uid:Id ─→ ℤ. ∀reps:bag(Id).
    (pv11_p1_message-constraint{paxos-v11-part1.esh:o}(Cmd; accpts; ldrs; ldrs_uid; reps; f; es)
    ⇒ (∀e:E
          (pv11_p1_valid-AcceptorState(Cmd;ldrs_uid;es;e;f)
          ∧ pv11_p1_valid-LeaderState(Cmd;ldrs_uid;es;e;f)
          ∧ (∀b:pv11_p1_Ballot_Num(). ∀start:E.  (start ≤loc e  ⇒ pv11_p1_valid-ScoutState(Cmd;accpts;b;start;es;e;f)))
          ∧ ((header(e) = ``pv11_p1 adopted`` ∈ Name)
            ⇒ has-es-info-type(es;e;f;pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List))
            ⇒ pv11_p1_valid-adopted-message(Cmd;es;e;f))
          ∧ ((header(e) = ``pv11_p1 p1b`` ∈ Name)
            ⇒ has-es-info-type(es;e;f;Id
               × pv11_p1_Ballot_Num()
               × pv11_p1_Ballot_Num()
               × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List))
            ⇒ pv11_p1_valid-p1b-message(Cmd;es;e;f))
          ∧ ((header(e) = ``pv11_p1 p2a`` ∈ Name)
            ⇒ has-es-info-type(es;e;f;Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd)
            ⇒ pv11_p1_valid-p2a-message(Cmd;es;e;f)))))
BY
{ StartEmlProof }

1
1. Cmd : {T:Type| valueall-type(T)} 
2. f : pv11_p1_headers_type{i:l}(Cmd)@i'
3. (f [decision]) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
4. (f [propose]) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
5. (f ``pv11_p1 adopted``) = (pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List)) ∈ Type
6. (f ``pv11_p1 preempted``) = pv11_p1_Ballot_Num() ∈ Type
7. (f ``pv11_p1 p2b``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × pv11_p1_Ballot_Num()) ∈ Type
8. (f ``pv11_p1 p2a``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) ∈ Type
9. (f ``pv11_p1 p1b``)
= (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List))
∈ Type
10. (f ``pv11_p1 p1a``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num()) ∈ Type
11. f ∈ Name ─→ Type
12. es : EO+(Message(f))@i'
13. accpts : bag(Id)@i
14. ldrs : bag(Id)@i
15. ldrs_uid : Id ─→ ℤ@i
16. reps : bag(Id)@i
17. pv11_p1_message-constraint{paxos-v11-part1.esh:o}(Cmd; accpts; ldrs; ldrs_uid; reps; f; es)@i
18. e : E@i
⊢ pv11_p1_valid-AcceptorState(Cmd;ldrs_uid;es;e;f)
∧ pv11_p1_valid-LeaderState(Cmd;ldrs_uid;es;e;f)
∧ (∀b:pv11_p1_Ballot_Num(). ∀start:E.  (start ≤loc e  ⇒ pv11_p1_valid-ScoutState(Cmd;accpts;b;start;es;e;f)))
∧ ((header(e) = ``pv11_p1 adopted`` ∈ Name)
  ⇒ has-es-info-type(es;e;f;pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List))
  ⇒ pv11_p1_valid-adopted-message(Cmd;es;e;f))
∧ ((header(e) = ``pv11_p1 p1b`` ∈ Name)
  ⇒ has-es-info-type(es;e;f;Id × pv11_p1_Ballot_Num() × pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List))
  ⇒ pv11_p1_valid-p1b-message(Cmd;es;e;f))
∧ ((header(e) = ``pv11_p1 p2a`` ∈ Name)
  ⇒ has-es-info-type(es;e;f;Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd)
  ⇒ pv11_p1_valid-p2a-message(Cmd;es;e;f))

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}[Cmd:\{T:Type|  valueall-type(T)\}  ]
    \mforall{}f:pv11\_p1\_headers\_type\{i:l\}(Cmd).  \mforall{}es:EO+(Message(f)).  \mforall{}accpts,ldrs:bag(Id).  \mforall{}ldrs$_{\000Cuid}$:Id  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}.
    \mforall{}reps:bag(Id).
        (pv11\_p1\_message-constraint\{paxos-v11-part1.esh:o\}(Cmd;  accpts;  ldrs;  ldrs$_{uid\mbackslash{}ff7\000Cd$;  reps;  f;  es)
        {}\mRightarrow{}  (\mforall{}e:E
                    (pv11\_p1\_valid-AcceptorState(Cmd;ldrs$_{uid}$;es;e;f)
                    \mwedge{}  pv11\_p1\_valid-LeaderState(Cmd;ldrs$_{uid}$;es;e;f)
                    \mwedge{}  (\mforall{}b:pv11\_p1\_Ballot\_Num().  \mforall{}start:E.
                              (start  \mleq{}loc  e    {}\mRightarrow{}  pv11\_p1\_valid-ScoutState(Cmd;accpts;b;start;es;e;f)))
                    \mwedge{}  ((header(e)  =  ``pv11\_p1  adopted``)
                        {}\mRightarrow{}  has-es-info-type(es;e;f;pv11\_p1\_Ballot\_Num()
                              \mtimes{}  ((pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)  List))
                        {}\mRightarrow{}  pv11\_p1\_valid-adopted-message(Cmd;es;e;f))
                    \mwedge{}  ((header(e)  =  ``pv11\_p1  p1b``)
                        {}\mRightarrow{}  has-es-info-type(es;e;f;Id
                              \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num()
                              \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num()
                              \mtimes{}  ((pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)  List))
                        {}\mRightarrow{}  pv11\_p1\_valid-p1b-message(Cmd;es;e;f))
                    \mwedge{}  ((header(e)  =  ``pv11\_p1  p2a``)
                        {}\mRightarrow{}  has-es-info-type(es;e;f;Id  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)
                        {}\mRightarrow{}  pv11\_p1\_valid-p2a-message(Cmd;es;e;f)))))


By

---

Latex:
StartEmlProof

---

Home Index