---

Step * 2 2 of Lemma lg-edge-remove


1. [T] : Type
2. g : LabeledGraph(T)@i
3. i : ℕlg-size(g)@i
4. a : ℕlg-size(g) - 1@i
5. b : ℕlg-size(g) - 1@i
⊢ (a ∈ fst(snd(let lbl,in,out = g[if b <z i then b else b + 1 fi ] in 
   <lbl
   , map(λx.if x ≤z i then x else x - 1 fi ;filter(λx.(¬b(x =z i));in))
   , map(λx.if x ≤z i then x else x - 1 fi ;filter(λx.(¬b(x =z i));out))>)))
⇐⇒ (if a <z i then a else a + 1 fi  ∈ fst(snd(g[if b <z i then b else b + 1 fi ])))
BY
{ GenConcl ⌈g[if b <z i then b else b + 1 fi ] = Z ∈ (T × ℕlg-size(g) List × (ℕlg-size(g) List))⌉⋅ }

1
.....wf..... 
1. [T] : Type
2. g : LabeledGraph(T)@i
3. i : ℕlg-size(g)@i
4. a : ℕlg-size(g) - 1@i
5. b : ℕlg-size(g) - 1@i
⊢ g[if b <z i then b else b + 1 fi ] ∈ T × ℕlg-size(g) List × (ℕlg-size(g) List)

2
.....wf..... 
1. [T] : Type
2. g : LabeledGraph(T)@i
3. i : ℕlg-size(g)@i
4. a : ℕlg-size(g) - 1@i
5. b : ℕlg-size(g) - 1@i
⊢ T × ℕlg-size(g) List × (ℕlg-size(g) List) ∈ 𝕌{[1 | i 0]}

3
1. [T] : Type
2. g : LabeledGraph(T)@i
3. i : ℕlg-size(g)@i
4. a : ℕlg-size(g) - 1@i
5. b : ℕlg-size(g) - 1@i
6. Z : T × ℕlg-size(g) List × (ℕlg-size(g) List)@i
7. g[if b <z i then b else b + 1 fi ] = Z ∈ (T × ℕlg-size(g) List × (ℕlg-size(g) List))@i
⊢ (a ∈ fst(snd(let lbl,in,out = Z in 
   <lbl
   , map(λx.if x ≤z i then x else x - 1 fi ;filter(λx.(¬b(x =z i));in))
   , map(λx.if x ≤z i then x else x - 1 fi ;filter(λx.(¬b(x =z i));out))>)))
⇐⇒ (if a <z i then a else a + 1 fi  ∈ fst(snd(Z)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  [T]  :  Type
2.  g  :  LabeledGraph(T)@i
3.  i  :  \mBbbN{}lg-size(g)@i
4.  a  :  \mBbbN{}lg-size(g)  -  1@i
5.  b  :  \mBbbN{}lg-size(g)  -  1@i
\mvdash{}  (a  \mmember{}  fst(snd(let  lbl,in,out  =  g[if  b  <z  i  then  b  else  b  +  1  fi  ]  in 
      <lbl
      ,  map(\mlambda{}x.if  x  \mleq{}z  i  then  x  else  x  -  1  fi  ;filter(\mlambda{}x.(\mneg{}\msubb{}(x  =\msubz{}  i));in))
      ,  map(\mlambda{}x.if  x  \mleq{}z  i  then  x  else  x  -  1  fi  ;filter(\mlambda{}x.(\mneg{}\msubb{}(x  =\msubz{}  i));out))>)))
\mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  (if  a  <z  i  then  a  else  a  +  1  fi    \mmember{}  fst(snd(g[if  b  <z  i  then  b  else  b  +  1  fi  ])))


By

---

Latex:
GenConcl  \mkleeneopen{}g[if  b  <z  i  then  b  else  b  +  1  fi  ]  =  Z\mkleeneclose{}\mcdot{}

---

Home Index