---

Step * 1 1 2 of Lemma reliable-env-property1


1. [M] : Type ─→ Type
2. Continuous+(P.M[P])
3. S0 : InitialSystem(P.M[P])@i
4. n2m : ℕ ─→ pMsg(P.M[P])@i
5. l2m : Id ─→ pMsg(P.M[P])@i
6. env : pEnvType(P.M[P])@i
7. r : pRunType(P.M[P])@i
8. pRun(S0;env;n2m;l2m) = r ∈ pRunType(P.M[P])@i
9. ∀t:ℕ. ∃t':ℕ. (t < t' ∧ ((fst((env t' r))) = 0 ∈ ℤ))@i
10. t : ℕ@i
11. n : ℕ@i
12. run-command-node(r;t;n) ∧ (com-kind(snd(snd(run-command(r;t;n)))) ∈ ``msg choose new``)
13. ∀t':ℕ
      Dec(t < t'
      c∧ (((fst((env t' r))) ≤ n)
         ∧ ↑lg-is-source(run-intransit(r;t');fst((env t' r))) supposing 0 < lg-size(run-intransit(r;t'))))
14. ∃n1:ℕ
     (t < n1
     c∧ (((fst((env n1 r))) ≤ n)
        ∧ ↑lg-is-source(run-intransit(r;n1);fst((env n1 r))) supposing 0 < lg-size(run-intransit(r;n1))))
⊢ ∃t':ℕ
   ((t < t'
   c∧ (((fst((env t' r))) ≤ n)
      ∧ ↑lg-is-source(run-intransit(r;t');fst((env t' r))) supposing 0 < lg-size(run-intransit(r;t'))))
   ∧ (∀i:ℕ
        ¬(t < i
        c∧ (((fst((env i r))) ≤ n)
           ∧ ↑lg-is-source(run-intransit(r;i);fst((env i r))) supposing 0 < lg-size(run-intransit(r;i)))) 
        supposing i < t'))
BY
{ (RenameVar `d' (-2)⋅ THEN With ⌈mu(d)⌉ (D 0)⋅)⋅ }

1
.....wf..... 
1. M : Type ─→ Type
2. Continuous+(P.M[P])
3. S0 : InitialSystem(P.M[P])@i
4. n2m : ℕ ─→ pMsg(P.M[P])@i
5. l2m : Id ─→ pMsg(P.M[P])@i
6. env : pEnvType(P.M[P])@i
7. r : pRunType(P.M[P])@i
8. pRun(S0;env;n2m;l2m) = r ∈ pRunType(P.M[P])@i
9. ∀t:ℕ. ∃t':ℕ. (t < t' ∧ ((fst((env t' r))) = 0 ∈ ℤ))@i
10. t : ℕ@i
11. n : ℕ@i
12. run-command-node(r;t;n) ∧ (com-kind(snd(snd(run-command(r;t;n)))) ∈ ``msg choose new``)
13. d : ∀t':ℕ
          Dec(t < t'
          c∧ (((fst((env t' r))) ≤ n)
             ∧ ↑lg-is-source(run-intransit(r;t');fst((env t' r))) supposing 0 < lg-size(run-intransit(r;t'))))
14. ∃n1:ℕ
     (t < n1
     c∧ (((fst((env n1 r))) ≤ n)
        ∧ ↑lg-is-source(run-intransit(r;n1);fst((env n1 r))) supposing 0 < lg-size(run-intransit(r;n1))))
⊢ mu(d) ∈ ℕ

2
1. [M] : Type ─→ Type
2. Continuous+(P.M[P])
3. S0 : InitialSystem(P.M[P])@i
4. n2m : ℕ ─→ pMsg(P.M[P])@i
5. l2m : Id ─→ pMsg(P.M[P])@i
6. env : pEnvType(P.M[P])@i
7. r : pRunType(P.M[P])@i
8. pRun(S0;env;n2m;l2m) = r ∈ pRunType(P.M[P])@i
9. ∀t:ℕ. ∃t':ℕ. (t < t' ∧ ((fst((env t' r))) = 0 ∈ ℤ))@i
10. t : ℕ@i
11. n : ℕ@i
12. run-command-node(r;t;n) ∧ (com-kind(snd(snd(run-command(r;t;n)))) ∈ ``msg choose new``)
13. d : ∀t':ℕ
          Dec(t < t'
          c∧ (((fst((env t' r))) ≤ n)
             ∧ ↑lg-is-source(run-intransit(r;t');fst((env t' r))) supposing 0 < lg-size(run-intransit(r;t'))))
14. ∃n1:ℕ
     (t < n1
     c∧ (((fst((env n1 r))) ≤ n)
        ∧ ↑lg-is-source(run-intransit(r;n1);fst((env n1 r))) supposing 0 < lg-size(run-intransit(r;n1))))
⊢ (t < mu(d)
c∧ (((fst((env mu(d) r))) ≤ n)
   ∧ ↑lg-is-source(run-intransit(r;mu(d));fst((env mu(d) r))) supposing 0 < lg-size(run-intransit(r;mu(d)))))
∧ (∀i:ℕ
     ¬(t < i
     c∧ (((fst((env i r))) ≤ n)
        ∧ ↑lg-is-source(run-intransit(r;i);fst((env i r))) supposing 0 < lg-size(run-intransit(r;i)))) 
     supposing i < mu(d))

3
.....wf..... 
1. M : Type ─→ Type
2. Continuous+(P.M[P])
3. S0 : InitialSystem(P.M[P])@i
4. n2m : ℕ ─→ pMsg(P.M[P])@i
5. l2m : Id ─→ pMsg(P.M[P])@i
6. env : pEnvType(P.M[P])@i
7. r : pRunType(P.M[P])@i
8. pRun(S0;env;n2m;l2m) = r ∈ pRunType(P.M[P])@i
9. ∀t:ℕ. ∃t':ℕ. (t < t' ∧ ((fst((env t' r))) = 0 ∈ ℤ))@i
10. t : ℕ@i
11. n : ℕ@i
12. run-command-node(r;t;n) ∧ (com-kind(snd(snd(run-command(r;t;n)))) ∈ ``msg choose new``)
13. d : ∀t':ℕ
          Dec(t < t'
          c∧ (((fst((env t' r))) ≤ n)
             ∧ ↑lg-is-source(run-intransit(r;t');fst((env t' r))) supposing 0 < lg-size(run-intransit(r;t'))))
14. ∃n1:ℕ
     (t < n1
     c∧ (((fst((env n1 r))) ≤ n)
        ∧ ↑lg-is-source(run-intransit(r;n1);fst((env n1 r))) supposing 0 < lg-size(run-intransit(r;n1))))
15. t' : ℕ
⊢ (t < t'
  c∧ (((fst((env t' r))) ≤ n)
     ∧ ↑lg-is-source(run-intransit(r;t');fst((env t' r))) supposing 0 < lg-size(run-intransit(r;t'))))
  ∧ (∀i:ℕ
       ¬(t < i
       c∧ (((fst((env i r))) ≤ n)
          ∧ ↑lg-is-source(run-intransit(r;i);fst((env i r))) supposing 0 < lg-size(run-intransit(r;i)))) 
       supposing i < t') ∈ ℙ

---

Latex:

---

Latex:

1.  [M]  :  Type  {}\mrightarrow{}  Type
2.  Continuous+(P.M[P])
3.  S0  :  InitialSystem(P.M[P])@i
4.  n2m  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  pMsg(P.M[P])@i
5.  l2m  :  Id  {}\mrightarrow{}  pMsg(P.M[P])@i
6.  env  :  pEnvType(P.M[P])@i
7.  r  :  pRunType(P.M[P])@i
8.  pRun(S0;env;n2m;l2m)  =  r@i
9.  \mforall{}t:\mBbbN{}.  \mexists{}t':\mBbbN{}.  (t  <  t'  \mwedge{}  ((fst((env  t'  r)))  =  0))@i
10.  t  :  \mBbbN{}@i
11.  n  :  \mBbbN{}@i
12.  run-command-node(r;t;n)  \mwedge{}  (com-kind(snd(snd(run-command(r;t;n))))  \mmember{}  ``msg  choose  new``)
13.  \mforall{}t':\mBbbN{}
            Dec(t  <  t'
            c\mwedge{}  (((fst((env  t'  r)))  \mleq{}  n)
                  \mwedge{}  \muparrow{}lg-is-source(run-intransit(r;t');fst((env  t'  r))) 
                      supposing  0  <  lg-size(run-intransit(r;t'))))
14.  \mexists{}n1:\mBbbN{}
          (t  <  n1
          c\mwedge{}  (((fst((env  n1  r)))  \mleq{}  n)
                \mwedge{}  \muparrow{}lg-is-source(run-intransit(r;n1);fst((env  n1  r))) 
                    supposing  0  <  lg-size(run-intransit(r;n1))))
\mvdash{}  \mexists{}t':\mBbbN{}
      ((t  <  t'
      c\mwedge{}  (((fst((env  t'  r)))  \mleq{}  n)
            \mwedge{}  \muparrow{}lg-is-source(run-intransit(r;t');fst((env  t'  r))) 
                supposing  0  <  lg-size(run-intransit(r;t'))))
      \mwedge{}  (\mforall{}i:\mBbbN{}
                \mneg{}(t  <  i
                c\mwedge{}  (((fst((env  i  r)))  \mleq{}  n)
                      \mwedge{}  \muparrow{}lg-is-source(run-intransit(r;i);fst((env  i  r))) 
                          supposing  0  <  lg-size(run-intransit(r;i)))) 
                supposing  i  <  t'))


By

---

Latex:
(RenameVar  `d'  (-2)\mcdot{}  THEN  With  \mkleeneopen{}mu(d)\mkleeneclose{}  (D  0)\mcdot{})\mcdot{}

---

Home Index