---

Step * 1 of Lemma hdf-buffer-transformation3


1. j : ℤ
2. 0 < j
3. ∀init,s,L,S,G:Top. ∀m:ℕ.
     (λmk-hdf,s0. let X,bs = s0 
                  in case X
                      of inl(y) =>
                      inl (λa.let X',fs = y a 
                              in let bs' ←─ ∪f∈fs.∪b∈bs.f b
                                 in <mk-hdf <X', case null(bs') of inl() => bs | inr() => bs'>, bs'>)
                      | inr(y) =>
                      inr ⋅ ^j - 1 
      ⊥ 
      <fix((λmk-hdf,s. (inl (λa.cbva_seq(L s a; λg.<mk-hdf (S s a g), G s a g>; m))))) s, init> 
      ≤ fix((λmk-hdf,s. (inl (λa.cbva_seq(λn.if n=m
                                                then mk_lambdas_fun(λg.∪f∈G (fst(s)) a g.∪b∈snd(s).f b;m)
                                                else (L (fst(s)) a n); λg.<mk-hdf 
                                                                           <S (fst(s)) a partial_ap(g;m + 1;m)
                                                                           , case null(select_fun_last(g;m))
                                                                              of inl() =>
                                                                              snd(s)
                                                                              | inr() =>
                                                                              select_fun_last(g;m)
                                                                           >
                                                                          , select_fun_last(g;m)
                                                                          >; m + 1))))) 
        <s, init>)
4. init : Top@i
5. s : Top@i
6. L : Top@i
7. S : Top@i
8. G : Top@i
9. m : ℕ@i
⊢ (λx.((λmk-hdf,s0. let X,bs = s0 
                    in case X
                        of inl(y) =>
                        inl (λa.let X',fs = y a 
                                in let bs' ←─ ∪f∈fs.∪b∈bs.f b
                                   in <mk-hdf <X', case null(bs') of inl() => bs | inr() => bs'>, bs'>)
                        | inr(y) =>
                        inr ⋅ ) 
       (λmk-hdf,s0. let X,bs = s0 
                    in case X
                        of inl(y) =>
                        inl (λa.let X',fs = y a 
                                in let bs' ←─ ∪f∈fs.∪b∈bs.f b
                                   in <mk-hdf <X', case null(bs') of inl() => bs | inr() => bs'>, bs'>)
                        | inr(y) =>
                        inr ⋅ ^j - 1 
        x))) 
  ⊥ 
  <fix((λmk-hdf,s. (inl (λa.cbva_seq(L s a; λg.<mk-hdf (S s a g), G s a g>; m))))) s, init> 
  ≤ fix((λmk-hdf,s. (inl (λa.cbva_seq(λn.if n=m
                                            then mk_lambdas_fun(λg.∪f∈G (fst(s)) a g.∪b∈snd(s).f b;m)
                                            else (L (fst(s)) a n); λg.<mk-hdf 
                                                                       <S (fst(s)) a partial_ap(g;m + 1;m)
                                                                       , case null(select_fun_last(g;m))
                                                                          of inl() =>
                                                                          snd(s)
                                                                          | inr() =>
                                                                          select_fun_last(g;m)
                                                                       >
                                                                      , select_fun_last(g;m)
                                                                      >; m + 1))))) 
    <s, init>
BY
{ (RW (AddrC [2] (UnrollLoopsOnceExceptC (``pi1 pi2`` @ SqequalProcTransLst))) 0
   THEN Reduce 0
   THEN RepeatFor 2 (SqLeCD)
   THEN (RWO "cbva_seq-spread" 0 THENA Auto)
   THEN (RWO "cbva_seq_extend" 0 THENA Auto)
   THEN RepUR ``ifthenelse eq_int btrue bfalse`` 0
   THEN RW LiftAllC 0
   THEN Fold `select_fun_last` 0
   THEN RepeatFor 3 ((SqLeCD THEN Try (Complete (Auto))))
   THEN BackThruSomeHyp) }

---

Latex:



1.  j  :  \mBbbZ{}
2.  0  <  j
3.  \mforall{}init,s,L,S,G:Top.  \mforall{}m:\mBbbN{}.
          (\mlambda{}mk-hdf,s0.  let  X,bs  =  s0 
                                    in  case  X
                                            of  inl(y)  =>
                                            inl  (\mlambda{}a.let  X',fs  =  y  a 
                                                            in  let  bs'  \mleftarrow{}{}  \mcup{}f\mmember{}fs.\mcup{}b\mmember{}bs.f  b
                                                                  in  <mk-hdf  <X',  case  null(bs')  of  inl()  =>  bs  |  inr()  =>  bs'>,  bs'>\000C)
                                            |  inr(y)  =>
                                            inr  \mcdot{}  \^{}j  -  1 
            \mbot{} 
            <fix((\mlambda{}mk-hdf,s.  (inl  (\mlambda{}a.cbva\_seq(L  s  a;  \mlambda{}g.<mk-hdf  (S  s  a  g),  G  s  a  g>  m)))))  s,  init> 
            \mleq{}  fix((\mlambda{}mk-hdf,s.  (inl  (\mlambda{}a.cbva\_seq(\mlambda{}n.if  n=m
                                                                                                then  mk\_lambdas\_fun(\mlambda{}g.\mcup{}f\mmember{}G  (fst(s))  a  g.
                                                                                                                                              \mcup{}b\mmember{}snd(s).f  b;m)
                                                                                                else  (L  (fst(s))  a  n);
                                                                                    \mlambda{}g.<mk-hdf 
                                                                                            <S  (fst(s))  a  partial\_ap(g;m  +  1;m)
                                                                                            ,  case  null(select\_fun\_last(g;m))
                                                                                                  of  inl()  =>
                                                                                                  snd(s)
                                                                                                  |  inr()  =>
                                                                                                  select\_fun\_last(g;m)
                                                                                            >
                                                                                          ,  select\_fun\_last(g;m)
                                                                                          >  m  +  1))))) 
                <s,  init>)
4.  init  :  Top@i
5.  s  :  Top@i
6.  L  :  Top@i
7.  S  :  Top@i
8.  G  :  Top@i
9.  m  :  \mBbbN{}@i
\mvdash{}  (\mlambda{}x.((\mlambda{}mk-hdf,s0.  let  X,bs  =  s0 
                                        in  case  X
                                                of  inl(y)  =>
                                                inl  (\mlambda{}a.let  X',fs  =  y  a 
                                                                in  let  bs'  \mleftarrow{}{}  \mcup{}f\mmember{}fs.\mcup{}b\mmember{}bs.f  b
                                                                      in  <mk-hdf  <X',  case  null(bs')  of  inl()  =>  bs  |  inr()  =>  bs'>,  bs\000C'>)
                                                |  inr(y)  =>
                                                inr  \mcdot{}  ) 
              (\mlambda{}mk-hdf,s0.  let  X,bs  =  s0 
                                        in  case  X
                                                of  inl(y)  =>
                                                inl  (\mlambda{}a.let  X',fs  =  y  a 
                                                                in  let  bs'  \mleftarrow{}{}  \mcup{}f\mmember{}fs.\mcup{}b\mmember{}bs.f  b
                                                                      in  <mk-hdf  <X',  case  null(bs')  of  inl()  =>  bs  |  inr()  =>  bs'>,  bs\000C'>)
                                                |  inr(y)  =>
                                                inr  \mcdot{}  \^{}j  -  1 
                x))) 
    \mbot{} 
    <fix((\mlambda{}mk-hdf,s.  (inl  (\mlambda{}a.cbva\_seq(L  s  a;  \mlambda{}g.<mk-hdf  (S  s  a  g),  G  s  a  g>  m)))))  s,  init> 
    \mleq{}  fix((\mlambda{}mk-hdf,s.  (inl  (\mlambda{}a.cbva\_seq(\mlambda{}n.if  n=m
                                                                                        then  mk\_lambdas\_fun(\mlambda{}g.\mcup{}f\mmember{}G  (fst(s))  a  g.
                                                                                                                                      \mcup{}b\mmember{}snd(s).f  b;m)
                                                                                        else  (L  (fst(s))  a  n);
                                                                            \mlambda{}g.<mk-hdf 
                                                                                    <S  (fst(s))  a  partial\_ap(g;m  +  1;m)
                                                                                    ,  case  null(select\_fun\_last(g;m))
                                                                                          of  inl()  =>
                                                                                          snd(s)
                                                                                          |  inr()  =>
                                                                                          select\_fun\_last(g;m)
                                                                                    >
                                                                                  ,  select\_fun\_last(g;m)
                                                                                  >  m  +  1))))) 
        <s,  init>


By

(RW  (AddrC  [2]  (UnrollLoopsOnceExceptC  (``pi1  pi2``  @  SqequalProcTransLst)))  0
  THEN  Reduce  0
  THEN  RepeatFor  2  (SqLeCD)
  THEN  (RWO  "cbva\_seq-spread"  0  THENA  Auto)
  THEN  (RWO  "cbva\_seq\_extend"  0  THENA  Auto)
  THEN  RepUR  ``ifthenelse  eq\_int  btrue  bfalse``  0
  THEN  RW  LiftAllC  0
  THEN  Fold  `select\_fun\_last`  0
  THEN  RepeatFor  3  ((SqLeCD  THEN  Try  (Complete  (Auto))))
  THEN  BackThruSomeHyp)

---

Home Index