---

Step * 1 of Lemma hdf-state-transformation2


1. j : ℤ
2. 0 < j
3. ∀init,L,G:Top. ∀m:ℕ.
     (λmk-hdf,s0. (inl (λa.let X,s = s0 
                           in let X',fs = case X of inl(P) => P a | inr(z) => <inr ⋅ , {}> 
                              in let b ←─ ∪f∈fs.bag-map(f;s)
                                 in let s' ←─ case null(b) of inl() => s | inr() => b
                                    in <mk-hdf <X', s'>, s'>))^j - 1 
      ⊥ 
      <fix((λmk-hdf.(inl (λa.cbva_seq(L a; λg.<mk-hdf, G g>; m))))), init> 
      ≤ fix((λmk-hdf,s. (inl (λa.cbva_seq(λn.if n=m + 1
                                                then mk_lambdas_fun(λg.case null(select_fun_last(g;m))
                                                                        of inl() =>
                                                                        s
                                                                        | inr() =>
                                                                        select_fun_last(g;m);m + 1)
                                                else if n=m
                                                        then mk_lambdas_fun(λg.∪f∈G g.bag-map(f;s);m)
                                                        else (L a n); λg.<mk-hdf select_fun_last(g;m + 1)
                                                                         , select_fun_last(g;m + 1)
                                                                         >; m + 2))))) 
        init)
4. init : Top@i
5. L : Top@i
6. G : Top@i
7. m : ℕ@i
⊢ inl (λa.let X',fs = cbva_seq(L a; λg.<fix((λmk-hdf.(inl (λa.cbva_seq(L a; λg.<mk-hdf, G g>; m))))), G g>; m) 
          in let b ←─ ∪f∈fs.bag-map(f;init)
             in let s' ←─ case null(b) of inl() => init | inr() => b
                in <λmk-hdf,s0. (inl (λa.let X,s = s0 
                                         in let X',fs = case X of inl(P) => P a | inr(z) => <inr ⋅ , {}> 
                                            in let b ←─ ∪f∈fs.bag-map(f;s)
                                               in let s' ←─ case null(b) of inl() => s | inr() => b
                                                  in <mk-hdf <X', s'>, s'>))^j - 1 
                    ⊥ 
                    <X', s'>
                   , s'
                   >) ≤ fix((λmk-hdf,s. (inl (λa.cbva_seq(λn.if n=m + 1
                                                             then mk_lambdas_fun(λg.case null(select_fun_last(g;m))
                                                                                     of inl() =>
                                                                                     s
                                                                                     | inr() =>
                                                                                     select_fun_last(g;m);m + 1)
                                                             else if n=m
                                                                     then mk_lambdas_fun(λg.∪f∈G g.bag-map(f;s);m)
                                                                     else (L a n); λg.<mk-hdf select_fun_last(g;m + 1)
                                                                                      , select_fun_last(g;m + 1)
                                                                                      >; m + 2))))) 
                     init
BY
{ (RW (AddrC [2] (UnrollLoopsOnceExceptC SqequalProcTransLst)) 0
   THEN RepeatFor 2 ((SqLeCD THEN Try (Complete (Auto))))
   THEN Reduce 0
   THEN (RWO "cbva_seq-spread" 0 THENA Auto)
   THEN RepeatFor 2 ((RWO "cbva_seq_extend" 0 THENA Auto))
   THEN RepUR ``ifthenelse eq_int btrue bfalse bag-map bag-null`` 0
   THEN (RW (AddrC [1;1] LiftAllC) 0 THENA Auto)
   THEN Reduce 0
   THEN Fold `select_fun_last` 0
   THEN (Subst ⌈(m + 1) + 1 ~ m + 2⌉ 0⋅ THENA Auto')
   THEN RepeatFor 3 ((SqLeCD THEN Try (Complete (Auto))))
   THEN All (RepUR ``bag-map``)
   THEN BackThruSomeHyp) }

---

Latex:



1.  j  :  \mBbbZ{}
2.  0  <  j
3.  \mforall{}init,L,G:Top.  \mforall{}m:\mBbbN{}.
          (\mlambda{}mk-hdf,s0.  (inl  (\mlambda{}a.let  X,s  =  s0 
                                                      in  let  X',fs  =  case  X  of  inl(P)  =>  P  a  |  inr(z)  =>  <inr  \mcdot{}  ,  \{\}> 
                                                            in  let  b  \mleftarrow{}{}  \mcup{}f\mmember{}fs.bag-map(f;s)
                                                                  in  let  s'  \mleftarrow{}{}  case  null(b)  of  inl()  =>  s  |  inr()  =>  b
                                                                        in  <mk-hdf  <X',  s'>,  s'>))\^{}j  -  1 
            \mbot{} 
            <fix((\mlambda{}mk-hdf.(inl  (\mlambda{}a.cbva\_seq(L  a;  \mlambda{}g.<mk-hdf,  G  g>  m))))),  init> 
            \mleq{}  fix((\mlambda{}mk-hdf,s.
                                              (inl  (\mlambda{}a.cbva\_seq(\mlambda{}n.if  n=m  +  1
                                                                                              then  mk\_lambdas\_fun(\mlambda{}g.case  null(...)
                                                                                                                                              of  inl()  =>
                                                                                                                                              s
                                                                                                                                              |  inr()  =>
                                                                                                                                              select\_fun\_last(g;m);m  +  1)
                                                                                              else  if  n=m
                                                                                                              then  mk\_lambdas\_fun(\mlambda{}g.\mcup{}f\mmember{}G  g.bag-map(f;s);m)
                                                                                                              else  (L  a  n);  \mlambda{}g.<mk-hdf 
                                                                                                                                                  select\_fun\_last(g;m  +  1)
                                                                                                                                                ,  select\_fun\_last(g;m  +  1)
                                                                                                                                                >  m  +  2))))) 
                init)
4.  init  :  Top@i
5.  L  :  Top@i
6.  G  :  Top@i
7.  m  :  \mBbbN{}@i
\mvdash{}  inl  (\mlambda{}a.let  X',fs  =  cbva\_seq(L  a;  \mlambda{}g.<fix((\mlambda{}mk-hdf.(inl  (\mlambda{}a.cbva\_seq(L  a;  \mlambda{}g.<mk-hdf,  G  g>  m)))))
                                                                              ,  G  g
                                                                              >  m) 
                    in  let  b  \mleftarrow{}{}  \mcup{}f\mmember{}fs.bag-map(f;init)
                          in  let  s'  \mleftarrow{}{}  case  null(b)  of  inl()  =>  init  |  inr()  =>  b
                                in  <\mlambda{}mk-hdf,s0.  (inl  (\mlambda{}a.let  X,s  =  s0 
                                                                                  in  let  X',fs  =  case  X
                                                                                          of  inl(P)  =>
                                                                                          P  a
                                                                                          |  inr(z)  =>
                                                                                          <inr  \mcdot{}  ,  \{\}> 
                                                                                        in  let  b  \mleftarrow{}{}  \mcup{}f\mmember{}fs.bag-map(f;s)
                                                                                              in  let  s'  \mleftarrow{}{}  case  null(b)  of  inl()  =>  s  |  inr()  =>  b
                                                                                                    in  <mk-hdf  <X',  s'>,  s'>))\^{}j  -  1 
                                        \mbot{} 
                                        <X',  s'>
                                      ,  s'
                                      >) 
    \mleq{}  fix((\mlambda{}mk-hdf,s.  (inl  (\mlambda{}a.cbva\_seq(\mlambda{}n.if  n=m  +  1
                                                                                        then  mk\_lambdas\_fun(\mlambda{}g.case  null(select\_fun\_last(g;m))
                                                                                                                                        of  inl()  =>
                                                                                                                                        s
                                                                                                                                        |  inr()  =>
                                                                                                                                        select\_fun\_last(g;m);m  +  1)
                                                                                        else  if  n=m
                                                                                                        then  mk\_lambdas\_fun(\mlambda{}g.\mcup{}f\mmember{}G  g.bag-map(f;s);m)
                                                                                                        else  (L  a  n);  \mlambda{}g.<mk-hdf 
                                                                                                                                            select\_fun\_last(g;m  +  1)
                                                                                                                                          ,  select\_fun\_last(g;m  +  1)
                                                                                                                                          >  m  +  2))))) 
        init


By

(RW  (AddrC  [2]  (UnrollLoopsOnceExceptC  SqequalProcTransLst))  0
  THEN  RepeatFor  2  ((SqLeCD  THEN  Try  (Complete  (Auto))))
  THEN  Reduce  0
  THEN  (RWO  "cbva\_seq-spread"  0  THENA  Auto)
  THEN  RepeatFor  2  ((RWO  "cbva\_seq\_extend"  0  THENA  Auto))
  THEN  RepUR  ``ifthenelse  eq\_int  btrue  bfalse  bag-map  bag-null``  0
  THEN  (RW  (AddrC  [1;1]  LiftAllC)  0  THENA  Auto)
  THEN  Reduce  0
  THEN  Fold  `select\_fun\_last`  0
  THEN  (Subst  \mkleeneopen{}(m  +  1)  +  1  \msim{}  m  +  2\mkleeneclose{}  0\mcdot{}  THENA  Auto')
  THEN  RepeatFor  3  ((SqLeCD  THEN  Try  (Complete  (Auto))))
  THEN  All  (RepUR  ``bag-map``)
  THEN  BackThruSomeHyp)

---

Home Index