---

Step * of Lemma expectation-linear

∀[p:FinProbSpace]. ∀[n:ℕ]. ∀[X,Y:RandomVariable(p;n)]. ∀[a,b:ℚ].  (E(n;a*X + b*Y) = ((a * E(n;X)) + (b * E(n;Y))) ∈ ℚ)
BY
{ (InductionOnNat
   THEN RecUnfold `expectation` 0
   THEN Reduce 0
   THEN Try ((SplitOnConclITE THENA Auto))
   THEN Try (...)
   THEN Auto'
   THEN RWO "rv-shift-linear" 0
   THEN Auto
   THEN RWO "ws-linear<" 0
   THEN Auto) }

1
1. p : FinProbSpace
2. n : ℤ
3. 0 < n
4. ∀[X,Y:RandomVariable(p;n - 1)]. ∀[a,b:ℚ].  (E(n - 1;a*X + b*Y) = ((a * E(n - 1;X)) + (b * E(n - 1;Y))) ∈ ℚ)
5. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
6. X : RandomVariable(p;n)
7. Y : RandomVariable(p;n)
8. a : ℚ
9. b : ℚ
⊢ weighted-sum(p;λx.E(n - 1;a*rv-shift(x;X) + b*rv-shift(x;Y)))
= weighted-sum(p;λx.((a * ((λx.E(n - 1;rv-shift(x;X))) x)) + (b * ((λx.E(n - 1;rv-shift(x;Y))) x))))
∈ ℚ

---

Latex:


\mforall{}[p:FinProbSpace].  \mforall{}[n:\mBbbN{}].  \mforall{}[X,Y:RandomVariable(p;n)].  \mforall{}[a,b:\mBbbQ{}].
    (E(n;a*X  +  b*Y)  =  ((a  *  E(n;X))  +  (b  *  E(n;Y))))


By

(InductionOnNat
  THEN  RecUnfold  `expectation`  0
  THEN  Reduce  0
  THEN  Try  ((SplitOnConclITE  THENA  Auto))
  THEN  Try  (Complete  (((MoveToConcl  (-1))
                                            THEN  RepUR  ``finite-prob-space  rv-add  rv-scale  random-variable``  0
                                            THEN  Auto)))
  THEN  Auto'
  THEN  RWO  "rv-shift-linear"  0
  THEN  Auto
  THEN  RWO  "ws-linear<"  0
  THEN  Auto)

---

Home Index