---

Step * of Lemma slln-lemma2

∀p:FinProbSpace. ∀f:ℕ ─→ ℕ. ∀X:n:ℕ ─→ RandomVariable(p;f[n]). ∀s,k:ℚ.
  ((∀n:ℕ. ∀i:ℕn.  rv-disjoint(p;f[n];X[i];X[n]))
     ⇒ (∃B:ℚ
          ∀n:ℕ
            (E(f[n];rv-partial-sum(n;k.if (k =z 0)
            then 0
            else (x.(x * x) * x * x) o (1/k)*rv-partial-sum(k;i.X[i])
            fi )) ≤ B))) supposing 
     ((∀n:ℕ
         ((E(f[n];X[n]) = 0 ∈ ℚ)
         ∧ (E(f[n];(x.x * x) o X[n]) = s ∈ ℚ)
         ∧ (E(f[n];(x.(x * x) * x * x) o X[n]) = k ∈ ℚ))) and 
     (∀n:ℕ. ∀i:ℕn.  f[i] < f[n]))
BY
{ (Auto
   THEN Try (((Assert f[i] < f[n] BY Auto) THEN (Assert ||p|| ∈ ℕ BY (DVar`p' THEN Auto)) THEN DoSubsume THEN Auto))
   THEN (InstLemma `slln-lemma1` [⌈p⌉;⌈f⌉;⌈X⌉;⌈s⌉;⌈k⌉]⋅ THENA Auto)
   THEN ExRepD
   THEN (InstConcl [⌈2 * B⌉]⋅ THENA Auto)
   THEN Using [`p',⌈p⌉;`f',⌈f⌉] Auto⋅
   THEN Try ((Unfold `label` 0 THEN (RWO "int-eq-in-rationals" (-1)) THEN Auto))) }

1
1. p : FinProbSpace@i
2. f : ℕ ─→ ℕ@i
3. X : n:ℕ ─→ RandomVariable(p;f[n])@i
4. s : ℚ@i
5. k : ℚ@i
6. ∀n:ℕ. ∀i:ℕn.  f[i] < f[n]
7. ∀n:ℕ. ((E(f[n];X[n]) = 0 ∈ ℚ) ∧ (E(f[n];(x.x * x) o X[n]) = s ∈ ℚ) ∧ (E(f[n];(x.(x * x) * x * x) o X[n]) = k ∈ ℚ))
8. ∀n:ℕ. ∀i:ℕn.  rv-disjoint(p;f[n];X[i];X[n])@i
9. B : ℚ
10. 0 ≤ B
11. ∀n:ℕ. (E(f[n];(x.(x * x) * x * x) o rv-partial-sum(n;i.X[i])) ≤ (B * n * n))
12. n : ℕ@i
⊢ E(f[n];rv-partial-sum(n;k.if (k =z 0) then 0 else (x.(x * x) * x * x) o (1/k)*rv-partial-sum(k;i.X[i]) fi )) ≤ (2 * B)

---

Latex:


\mforall{}p:FinProbSpace.  \mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.  \mforall{}X:n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  RandomVariable(p;f[n]).  \mforall{}s,k:\mBbbQ{}.
    ((\mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}i:\mBbbN{}n.    rv-disjoint(p;f[n];X[i];X[n]))
          {}\mRightarrow{}  (\mexists{}B:\mBbbQ{}
                    \mforall{}n:\mBbbN{}
                        (E(f[n];rv-partial-sum(n;k.if  (k  =\msubz{}  0)
                        then  0
                        else  (x.(x  *  x)  *  x  *  x)  o  (1/k)*rv-partial-sum(k;i.X[i])
                        fi  ))  \mleq{}  B)))  supposing 
          ((\mforall{}n:\mBbbN{}
                  ((E(f[n];X[n])  =  0)
                  \mwedge{}  (E(f[n];(x.x  *  x)  o  X[n])  =  s)
                  \mwedge{}  (E(f[n];(x.(x  *  x)  *  x  *  x)  o  X[n])  =  k)))  and 
          (\mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}i:\mBbbN{}n.    f[i]  <  f[n]))


By

(Auto
  THEN  Try  (((Assert  f[i]  <  f[n]  BY
                                      Auto)
                        THEN  (Assert  ||p||  \mmember{}  \mBbbN{}  BY
                                                (DVar`p'  THEN  Auto))
                        THEN  DoSubsume
                        THEN  Auto))
  THEN  (InstLemma  `slln-lemma1`  [\mkleeneopen{}p\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}f\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}X\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}s\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}k\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  ExRepD
  THEN  (InstConcl  [\mkleeneopen{}2  *  B\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  Using  [`p',\mkleeneopen{}p\mkleeneclose{};`f',\mkleeneopen{}f\mkleeneclose{}]  Auto\mcdot{}
  THEN  Try  ((Unfold  `label`  0  THEN  (RWO  "int-eq-in-rationals"  (-1))  THEN  Auto)))

---

Home Index