---

Step * 1 3 of Lemma cubical-pi-family-comp

.....subterm..... T:t
3:n
1. X : CubicalSet
2. Delta : CubicalSet
3. s : Delta ⟶ X
4. I : Cname List
5. J : Cname List
6. f : name-morph(I;J)
7. a : Delta(I)
8. A1 : I:(Cname List) ⟶ X(I) ⟶ Type
9. A2 : I:(Cname List) ⟶ J:(Cname List) ⟶ f:name-morph(I;J) ⟶ a:X(I) ⟶ (A1 I a) ⟶ (A1 J f(a))
10. (∀I:Cname List. ∀a:X(I). ∀u:A1 I a.  ((A2 I I 1 a u) = u ∈ (A1 I a)))
∧ (∀I,J,K:Cname List. ∀f:name-morph(I;J). ∀g:name-morph(J;K). ∀a:X(I). ∀u:A1 I a.
     ((A2 I K (f o g) a u) = (A2 J K g f(a) (A2 I J f a u)) ∈ (A1 K (f o g)(a))))
11. A : I:(Cname List) ⟶ X.<A1, A2>(I) ⟶ Type
12. B1 : I:(Cname List) ⟶ J:(Cname List) ⟶ f:name-morph(I;J) ⟶ a:X.<A1, A2>(I) ⟶ (A I a) ⟶ (A J f(a))
13. (∀I:Cname List. ∀a:X.<A1, A2>(I). ∀u:A I a.  ((B1 I I 1 a u) = u ∈ (A I a)))
∧ (∀I,J,K:Cname List. ∀f:name-morph(I;J). ∀g:name-morph(J;K). ∀a:X.<A1, A2>(I). ∀u:A I a.
     ((B1 I K (f o g) a u) = (B1 J K g f(a) (B1 I J f a u)) ∈ (A K (f o g)(a))))
14. w : J:(Cname List) ⟶ f:name-morph(I;J) ⟶ u:<A1, A2>(f((s)a)) ⟶ <A, B1>((f((s)a);u))
15. ∀J,K:Cname List. ∀f:name-morph(I;J). ∀g:name-morph(J;K). ∀u:<A1, A2>(f((s)a)).
      ((w J f u (f((s)a);u) g) = (w K (f o g) (u f((s)a) g)) ∈ <A, B1>(g((f((s)a);u))))
16. H : Cname List
17. K : Cname List
18. h : name-morph(J;H)
19. g : name-morph(H;K)
20. u : <A1, A2>(h((s)f(a)))
21. X ⊢ <A1, A2> ∧ X.<A1, A2> ⊢ <A, B1>
22. (B1 H K g ((f o h)((s)a);u) (w H (f o h) u))
= (w K ((f o h) o g) (A2 H K g (f o h)((s)a) u))
∈ <A, B1>(g(((f o h)((s)a);u)))
⊢ (w K (f o (h o g)) (A2 H K g (s)h(f(a)) u))
= (w K ((f o h) o g) (A2 H K g (f o h)((s)a) u))
∈ <A, B1>(g(((s)h(f(a));u)))
BY
{ xxx((Assert h((s)f(a)) = (f o h)((s)a) ∈ X(H) BY
             Auto)
      THEN (Assert (f o (h o g)) = ((f o h) o g) ∈ name-morph(I;K) BY
                  Auto)
      )xxx }

1
1. X : CubicalSet
2. Delta : CubicalSet
3. s : Delta ⟶ X
4. I : Cname List
5. J : Cname List
6. f : name-morph(I;J)
7. a : Delta(I)
8. A1 : I:(Cname List) ⟶ X(I) ⟶ Type
9. A2 : I:(Cname List) ⟶ J:(Cname List) ⟶ f:name-morph(I;J) ⟶ a:X(I) ⟶ (A1 I a) ⟶ (A1 J f(a))
10. (∀I:Cname List. ∀a:X(I). ∀u:A1 I a.  ((A2 I I 1 a u) = u ∈ (A1 I a)))
∧ (∀I,J,K:Cname List. ∀f:name-morph(I;J). ∀g:name-morph(J;K). ∀a:X(I). ∀u:A1 I a.
     ((A2 I K (f o g) a u) = (A2 J K g f(a) (A2 I J f a u)) ∈ (A1 K (f o g)(a))))
11. A : I:(Cname List) ⟶ X.<A1, A2>(I) ⟶ Type
12. B1 : I:(Cname List) ⟶ J:(Cname List) ⟶ f:name-morph(I;J) ⟶ a:X.<A1, A2>(I) ⟶ (A I a) ⟶ (A J f(a))
13. (∀I:Cname List. ∀a:X.<A1, A2>(I). ∀u:A I a.  ((B1 I I 1 a u) = u ∈ (A I a)))
∧ (∀I,J,K:Cname List. ∀f:name-morph(I;J). ∀g:name-morph(J;K). ∀a:X.<A1, A2>(I). ∀u:A I a.
     ((B1 I K (f o g) a u) = (B1 J K g f(a) (B1 I J f a u)) ∈ (A K (f o g)(a))))
14. w : J:(Cname List) ⟶ f:name-morph(I;J) ⟶ u:<A1, A2>(f((s)a)) ⟶ <A, B1>((f((s)a);u))
15. ∀J,K:Cname List. ∀f:name-morph(I;J). ∀g:name-morph(J;K). ∀u:<A1, A2>(f((s)a)).
      ((w J f u (f((s)a);u) g) = (w K (f o g) (u f((s)a) g)) ∈ <A, B1>(g((f((s)a);u))))
16. H : Cname List
17. K : Cname List
18. h : name-morph(J;H)
19. g : name-morph(H;K)
20. u : <A1, A2>(h((s)f(a)))
21. X ⊢ <A1, A2> ∧ X.<A1, A2> ⊢ <A, B1>
22. (B1 H K g ((f o h)((s)a);u) (w H (f o h) u))
= (w K ((f o h) o g) (A2 H K g (f o h)((s)a) u))
∈ <A, B1>(g(((f o h)((s)a);u)))
23. h((s)f(a)) = (f o h)((s)a) ∈ X(H)
24. (f o (h o g)) = ((f o h) o g) ∈ name-morph(I;K)
⊢ (w K (f o (h o g)) (A2 H K g (s)h(f(a)) u))
= (w K ((f o h) o g) (A2 H K g (f o h)((s)a) u))
∈ <A, B1>(g(((s)h(f(a));u)))

---

Latex:

---

Latex:
.....subterm.....  T:t
3:n
1.  X  :  CubicalSet
2.  Delta  :  CubicalSet
3.  s  :  Delta  {}\mrightarrow{}  X
4.  I  :  Cname  List
5.  J  :  Cname  List
6.  f  :  name-morph(I;J)
7.  a  :  Delta(I)
8.  A1  :  I:(Cname  List)  {}\mrightarrow{}  X(I)  {}\mrightarrow{}  Type
9.  A2  :  I:(Cname  List)  {}\mrightarrow{}  J:(Cname  List)  {}\mrightarrow{}  f:name-morph(I;J)  {}\mrightarrow{}  a:X(I)  {}\mrightarrow{}  (A1  I  a)  {}\mrightarrow{}  (A1  J  f(a))
10.  (\mforall{}I:Cname  List.  \mforall{}a:X(I).  \mforall{}u:A1  I  a.    ((A2  I  I  1  a  u)  =  u))
\mwedge{}  (\mforall{}I,J,K:Cname  List.  \mforall{}f:name-morph(I;J).  \mforall{}g:name-morph(J;K).  \mforall{}a:X(I).  \mforall{}u:A1  I  a.
          ((A2  I  K  (f  o  g)  a  u)  =  (A2  J  K  g  f(a)  (A2  I  J  f  a  u))))
11.  A  :  I:(Cname  List)  {}\mrightarrow{}  X.<A1,  A2>(I)  {}\mrightarrow{}  Type
12.  B1  :  I:(Cname  List)
{}\mrightarrow{}  J:(Cname  List)
{}\mrightarrow{}  f:name-morph(I;J)
{}\mrightarrow{}  a:X.<A1,  A2>(I)
{}\mrightarrow{}  (A  I  a)
{}\mrightarrow{}  (A  J  f(a))
13.  (\mforall{}I:Cname  List.  \mforall{}a:X.<A1,  A2>(I).  \mforall{}u:A  I  a.    ((B1  I  I  1  a  u)  =  u))
\mwedge{}  (\mforall{}I,J,K:Cname  List.  \mforall{}f:name-morph(I;J).  \mforall{}g:name-morph(J;K).  \mforall{}a:X.<A1,  A2>(I).  \mforall{}u:A  I  a.
          ((B1  I  K  (f  o  g)  a  u)  =  (B1  J  K  g  f(a)  (B1  I  J  f  a  u))))
14.  w  :  J:(Cname  List)  {}\mrightarrow{}  f:name-morph(I;J)  {}\mrightarrow{}  u:<A1,  A2>(f((s)a))  {}\mrightarrow{}  <A,  B1>((f((s)a);u))
15.  \mforall{}J,K:Cname  List.  \mforall{}f:name-morph(I;J).  \mforall{}g:name-morph(J;K).  \mforall{}u:<A1,  A2>(f((s)a)).
            ((w  J  f  u  (f((s)a);u)  g)  =  (w  K  (f  o  g)  (u  f((s)a)  g)))
16.  H  :  Cname  List
17.  K  :  Cname  List
18.  h  :  name-morph(J;H)
19.  g  :  name-morph(H;K)
20.  u  :  <A1,  A2>(h((s)f(a)))
21.  X  \mvdash{}  <A1,  A2>  \mwedge{}  X.<A1,  A2>  \mvdash{}  <A,  B1>
22.  (B1  H  K  g  ((f  o  h)((s)a);u)  (w  H  (f  o  h)  u))  =  (w  K  ((f  o  h)  o  g)  (A2  H  K  g  (f  o  h)((s)a)  u))
\mvdash{}  (w  K  (f  o  (h  o  g))  (A2  H  K  g  (s)h(f(a))  u))  =  (w  K  ((f  o  h)  o  g)  (A2  H  K  g  (f  o  h)((s)a)  u))


By

---

Latex:
xxx((Assert  h((s)f(a))  =  (f  o  h)((s)a)  BY
                      Auto)
        THEN  (Assert  (f  o  (h  o  g))  =  ((f  o  h)  o  g)  BY
                                Auto)
        )xxx

---

Home Index