---

Step * 2 of Lemma cubical-sigma_wf


1. X : CubicalSet
2. A : {X ⊢ _}
3. B : {X.A ⊢ _}
4. ∀I:Cname List. ∀a:X(I). ∀u:u:A(a) × B((a;u)).  (<(fst(u) a 1), (snd(u) (a;fst(u)) 1)> = u ∈ (u:A(a) × B((a;u))))
5. I : Cname List
6. J : Cname List
7. K : Cname List
8. f : name-morph(I;J)
9. g : name-morph(J;K)
10. a : X(I)
11. u : u:A(a) × B((a;u))
⊢ <(fst(u) a (f o g)), (snd(u) (a;fst(u)) (f o g))>
= <((fst(u) a f) f(a) g), ((snd(u) (a;fst(u)) f) (f(a);(fst(u) a f)) g)>
∈ (u:A((f o g)(a)) × B(((f o g)(a);u)))
BY
{ (((RepeatFor 2 (DVar `B') THEN (Assert X ⊢ A BY Auto) THEN RepeatFor 2 (DVar `A'))
    THEN All Reduce
    THEN RepUR ``cubical-type-ap-morph cubical-type-at`` 0 ⋅)
   THEN EqCD
   THEN Auto) }

1
1. X : CubicalSet
2. A1 : I:(Cname List) ⟶ X(I) ⟶ Type
3. A2 : I:(Cname List) ⟶ J:(Cname List) ⟶ f:name-morph(I;J) ⟶ a:X(I) ⟶ (A1 I a) ⟶ (A1 J f(a))
4. ∀I:Cname List. ∀a:X(I). ∀u:A1 I a.  ((A2 I I 1 a u) = u ∈ (A1 I a))
5. ∀I,J,K:Cname List. ∀f:name-morph(I;J). ∀g:name-morph(J;K). ∀a:X(I). ∀u:A1 I a.
     ((A2 I K (f o g) a u) = (A2 J K g f(a) (A2 I J f a u)) ∈ (A1 K (f o g)(a)))
6. A@0 : I:(Cname List) ⟶ X.<A1, A2>(I) ⟶ Type
7. B1 : I:(Cname List) ⟶ J:(Cname List) ⟶ f:name-morph(I;J) ⟶ a:X.<A1, A2>(I) ⟶ (A@0 I a) ⟶ (A@0 J f(a))
8. ∀I:Cname List. ∀a:X.<A1, A2>(I). ∀u:A@0 I a.  ((B1 I I 1 a u) = u ∈ (A@0 I a))
9. ∀I,J,K:Cname List. ∀f:name-morph(I;J). ∀g:name-morph(J;K). ∀a:X.<A1, A2>(I). ∀u:A@0 I a.
     ((B1 I K (f o g) a u) = (B1 J K g f(a) (B1 I J f a u)) ∈ (A@0 K (f o g)(a)))
10. ∀I:Cname List. ∀a:X(I). ∀u:u:<A1, A2>(a) × <A@0, B1>((a;u)).
      (<(fst(u) a 1), (snd(u) (a;fst(u)) 1)> = u ∈ (u:<A1, A2>(a) × <A@0, B1>((a;u))))
11. I : Cname List
12. J : Cname List
13. K : Cname List
14. f : name-morph(I;J)
15. g : name-morph(J;K)
16. a : X(I)
17. u : u:<A1, A2>(a) × <A@0, B1>((a;u))
18. X ⊢ <A1, A2>
⊢ (B1 I K (f o g) (a;fst(u)) (snd(u)))
= (B1 J K g (f(a);A2 I J f a (fst(u))) (B1 I J f (a;fst(u)) (snd(u))))
∈ (A@0 K ((f o g)(a);A2 I K (f o g) a (fst(u))))

---

Latex:

---

Latex:

1.  X  :  CubicalSet
2.  A  :  \{X  \mvdash{}  \_\}
3.  B  :  \{X.A  \mvdash{}  \_\}
4.  \mforall{}I:Cname  List.  \mforall{}a:X(I).  \mforall{}u:u:A(a)  \mtimes{}  B((a;u)).    (<(fst(u)  a  1),  (snd(u)  (a;fst(u))  1)>  =  u)
5.  I  :  Cname  List
6.  J  :  Cname  List
7.  K  :  Cname  List
8.  f  :  name-morph(I;J)
9.  g  :  name-morph(J;K)
10.  a  :  X(I)
11.  u  :  u:A(a)  \mtimes{}  B((a;u))
\mvdash{}  <(fst(u)  a  (f  o  g)),  (snd(u)  (a;fst(u))  (f  o  g))>
=  <((fst(u)  a  f)  f(a)  g),  ((snd(u)  (a;fst(u))  f)  (f(a);(fst(u)  a  f))  g)>


By

---

Latex:
(((RepeatFor  2  (DVar  `B')  THEN  (Assert  X  \mvdash{}  A  BY  Auto)  THEN  RepeatFor  2  (DVar  `A'))
    THEN  All  Reduce
    THEN  RepUR  ``cubical-type-ap-morph  cubical-type-at``  0  \mcdot{})
  THEN  EqCD
  THEN  Auto)

---

Home Index