---

Step * 1 1 4 of Lemma groupoid-edges-commute1


1. G : Groupoid
2. I : Cname List
3. J : nameset(I) List
4. j : nameset(I)
5. (j ∈ J)
6. (∀j'∈J.j' = j ∈ Cname)
7. x : nameset(I)
8. i : ℕ2
9. box : open_box(cubical-nerve(cat(G));I;J;x;i)
10. f : name-morph(I;[])
11. f x ≠ i
12. a : nameset(I)
13. flip(f;a) x ≠ i
14. ¬(a = j ∈ Cname)
15. (f a) = 0 ∈ ℕ2
16. (f j) = 0 ∈ ℕ2
⊢ (cat-comp(cat(G)) nerve_box_label(box;f) nerve_box_label(box;flip(f;a)) nerve_box_label(box;flip(flip(f;a);j)) 
   nerve_box_edge(box;f;a) 
   if (i =z 0)
   then groupoid-square1(G;nerve_box_label(box;flip(flip(f;a);x));nerve_box_label(box;flip(flip(flip(f;a);x);j));
        nerve_box_label(box;flip(f;a));nerve_box_label(box;flip(flip(f;a);j));nerve_box_edge(box;flip(flip(f;a);x);j);
        nerve_box_edge(box;flip(flip(flip(f;a);x);j);x);nerve_box_edge(box;flip(flip(f;a);x);x))
   else groupoid-square2(G;nerve_box_label(box;flip(f;a));nerve_box_label(box;flip(flip(f;a);j));
        nerve_box_label(box;flip(flip(f;a);x));nerve_box_label(box;flip(flip(flip(f;a);j);x));
        nerve_box_edge(box;flip(flip(f;a);j);x);nerve_box_edge(box;flip(f;a);x);nerve_box_edge(box;flip(flip(f;a);x);j))
   fi )
= (cat-comp(cat(G)) nerve_box_label(box;f) nerve_box_label(box;flip(f;j)) nerve_box_label(box;flip(flip(f;j);a)) 
   if (i =z 0)
   then groupoid-square1(G;nerve_box_label(box;flip(f;x));nerve_box_label(box;flip(flip(f;x);j));nerve_box_label(box;f);
        nerve_box_label(box;flip(f;j));nerve_box_edge(box;flip(f;x);j);nerve_box_edge(box;flip(flip(f;x);j);x);
        nerve_box_edge(box;flip(f;x);x))
   else groupoid-square2(G;nerve_box_label(box;f);nerve_box_label(box;flip(f;j));
        nerve_box_label(box;flip(f;x));nerve_box_label(box;flip(flip(f;j);x));nerve_box_edge(box;flip(f;j);x);
        nerve_box_edge(box;f;x);nerve_box_edge(box;flip(f;x);j))
   fi  
   nerve_box_edge(box;flip(f;j);a))
∈ (cat-arrow(cat(G)) nerve_box_label(box;f) nerve_box_label(box;flip(flip(f;a);j)))
BY
{ ((Assert ¬(x = j ∈ Cname) BY
          ((D 0 THENA Auto) THEN DVar `box' THEN SplitAndHyps THEN Eliminate ⌜x⌝⋅ THEN D 11 THEN Auto))
   THEN IntSegCases 8
   THEN Reduce 0
   THEN Eliminate ⌜i⌝⋅) }

1
1. G : Groupoid
2. I : Cname List
3. J : nameset(I) List
4. j : nameset(I)
5. (j ∈ J)
6. (∀j'∈J.j' = j ∈ Cname)
7. x : nameset(I)
8. i : ℤ
9. box : open_box(cubical-nerve(cat(G));I;J;x;0)
10. f : name-morph(I;[])
11. f x ≠ 0
12. a : nameset(I)
13. flip(f;a) x ≠ 0
14. ¬(a = j ∈ Cname)
15. (f a) = 0 ∈ ℕ2
16. (f j) = 0 ∈ ℕ2
17. ¬(x = j ∈ Cname)
18. i = 0 ∈ ℤ
⊢ (cat-comp(cat(G)) nerve_box_label(box;f) nerve_box_label(box;flip(f;a)) nerve_box_label(box;flip(flip(f;a);j)) 
   nerve_box_edge(box;f;a) 
   groupoid-square1(G;nerve_box_label(box;flip(flip(f;a);x));nerve_box_label(box;flip(flip(flip(f;a);x);j));
   nerve_box_label(box;flip(f;a));nerve_box_label(box;flip(flip(f;a);j));nerve_box_edge(box;flip(flip(f;a);x);j);
   nerve_box_edge(box;flip(flip(flip(f;a);x);j);x);nerve_box_edge(box;flip(flip(f;a);x);x)))
= (cat-comp(cat(G)) nerve_box_label(box;f) nerve_box_label(box;flip(f;j)) nerve_box_label(box;flip(flip(f;j);a)) 
   groupoid-square1(G;nerve_box_label(box;flip(f;x));nerve_box_label(box;flip(flip(f;x);j));nerve_box_label(box;f);
   nerve_box_label(box;flip(f;j));nerve_box_edge(box;flip(f;x);j);nerve_box_edge(box;flip(flip(f;x);j);x);
   nerve_box_edge(box;flip(f;x);x)) 
   nerve_box_edge(box;flip(f;j);a))
∈ (cat-arrow(cat(G)) nerve_box_label(box;f) nerve_box_label(box;flip(flip(f;a);j)))

2
1. G : Groupoid
2. I : Cname List
3. J : nameset(I) List
4. j : nameset(I)
5. (j ∈ J)
6. (∀j'∈J.j' = j ∈ Cname)
7. x : nameset(I)
8. i : ℤ
9. box : open_box(cubical-nerve(cat(G));I;J;x;1)
10. f : name-morph(I;[])
11. f x ≠ 1
12. a : nameset(I)
13. flip(f;a) x ≠ 1
14. ¬(a = j ∈ Cname)
15. (f a) = 0 ∈ ℕ2
16. (f j) = 0 ∈ ℕ2
17. ¬(x = j ∈ Cname)
18. i = 1 ∈ ℤ
⊢ (cat-comp(cat(G)) nerve_box_label(box;f) nerve_box_label(box;flip(f;a)) nerve_box_label(box;flip(flip(f;a);j)) 
   nerve_box_edge(box;f;a) 
   groupoid-square2(G;nerve_box_label(box;flip(f;a));nerve_box_label(box;flip(flip(f;a);j));
   nerve_box_label(box;flip(flip(f;a);x));nerve_box_label(box;flip(flip(flip(f;a);j);x));
   nerve_box_edge(box;flip(flip(f;a);j);x);nerve_box_edge(box;flip(f;a);x);nerve_box_edge(box;flip(flip(f;a);x);j)))
= (cat-comp(cat(G)) nerve_box_label(box;f) nerve_box_label(box;flip(f;j)) nerve_box_label(box;flip(flip(f;j);a)) 
   groupoid-square2(G;nerve_box_label(box;f);nerve_box_label(box;flip(f;j));
   nerve_box_label(box;flip(f;x));nerve_box_label(box;flip(flip(f;j);x));nerve_box_edge(box;flip(f;j);x);
   nerve_box_edge(box;f;x);nerve_box_edge(box;flip(f;x);j)) 
   nerve_box_edge(box;flip(f;j);a))
∈ (cat-arrow(cat(G)) nerve_box_label(box;f) nerve_box_label(box;flip(flip(f;a);j)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  G  :  Groupoid
2.  I  :  Cname  List
3.  J  :  nameset(I)  List
4.  j  :  nameset(I)
5.  (j  \mmember{}  J)
6.  (\mforall{}j'\mmember{}J.j'  =  j)
7.  x  :  nameset(I)
8.  i  :  \mBbbN{}2
9.  box  :  open\_box(cubical-nerve(cat(G));I;J;x;i)
10.  f  :  name-morph(I;[])
11.  f  x  \mneq{}  i
12.  a  :  nameset(I)
13.  flip(f;a)  x  \mneq{}  i
14.  \mneg{}(a  =  j)
15.  (f  a)  =  0
16.  (f  j)  =  0
\mvdash{}  (cat-comp(cat(G))  nerve\_box\_label(box;f)  nerve\_box\_label(box;flip(f;a)) 
      nerve\_box\_label(box;flip(flip(f;a);j)) 
      nerve\_box\_edge(box;f;a) 
      if  (i  =\msubz{}  0)
      then  groupoid-square1(G;nerve\_box\_label(box;flip(flip(f;a);x));
                nerve\_box\_label(box;flip(flip(flip(f;a);x);j));nerve\_box\_label(box;flip(f;a));
                nerve\_box\_label(box;flip(flip(f;a);j));nerve\_box\_edge(box;flip(flip(f;a);x);j);
                nerve\_box\_edge(box;flip(flip(flip(f;a);x);j);x);nerve\_box\_edge(box;flip(flip(f;a);x);x))
      else  groupoid-square2(G;nerve\_box\_label(box;flip(f;a));nerve\_box\_label(box;flip(flip(f;a);j));
                nerve\_box\_label(box;flip(flip(f;a);x));nerve\_box\_label(box;flip(flip(flip(f;a);j);x));
                nerve\_box\_edge(box;flip(flip(f;a);j);x);nerve\_box\_edge(box;flip(f;a);x);
                nerve\_box\_edge(box;flip(flip(f;a);x);j))
      fi  )
=  (cat-comp(cat(G))  nerve\_box\_label(box;f)  nerve\_box\_label(box;flip(f;j)) 
      nerve\_box\_label(box;flip(flip(f;j);a)) 
      if  (i  =\msubz{}  0)
      then  groupoid-square1(G;nerve\_box\_label(box;flip(f;x));nerve\_box\_label(box;flip(flip(f;x);j));
                nerve\_box\_label(box;f);nerve\_box\_label(box;flip(f;j));nerve\_box\_edge(box;flip(f;x);j);
                nerve\_box\_edge(box;flip(flip(f;x);j);x);nerve\_box\_edge(box;flip(f;x);x))
      else  groupoid-square2(G;nerve\_box\_label(box;f);nerve\_box\_label(box;flip(f;j));
                nerve\_box\_label(box;flip(f;x));nerve\_box\_label(box;flip(flip(f;j);x));
                nerve\_box\_edge(box;flip(f;j);x);nerve\_box\_edge(box;f;x);nerve\_box\_edge(box;flip(f;x);j))
      fi   
      nerve\_box\_edge(box;flip(f;j);a))


By

---

Latex:
((Assert  \mneg{}(x  =  j)  BY
                ((D  0  THENA  Auto)
                  THEN  DVar  `box'
                  THEN  SplitAndHyps
                  THEN  Eliminate  \mkleeneopen{}x\mkleeneclose{}\mcdot{}
                  THEN  D  11
                  THEN  Auto))
  THEN  IntSegCases  8
  THEN  Reduce  0
  THEN  Eliminate  \mkleeneopen{}i\mkleeneclose{}\mcdot{})

---

Home Index