---

Step * 1 2 of Lemma groupoid-edges-commute1


1. G : Groupoid
2. I : Cname List
3. J : nameset(I) List
4. j : nameset(I)
5. (j ∈ J)
6. (∀j'∈J.j' = j ∈ Cname)
7. x : nameset(I)
8. i : ℕ2
9. box : open_box(cubical-nerve(cat(G));I;J;x;i)
10. f : name-morph(I;[])
11. a : nameset(I)
12. ¬(a = j ∈ Cname)
13. (f a) = 0 ∈ ℕ2
14. b : nameset(I)
15. ¬(b = j ∈ Cname)
16. (f b) = 0 ∈ ℕ2
17. ¬(a = b ∈ nameset(I))
⊢ (cat-comp(cat(G)) nerve_box_label(box;f) nerve_box_label(box;flip(f;a)) nerve_box_label(box;flip(flip(f;a);b)) 
   nerve_box_edge(box;f;a) 
   nerve_box_edge(box;flip(f;a);b))
= (cat-comp(cat(G)) nerve_box_label(box;f) nerve_box_label(box;flip(f;b)) nerve_box_label(box;flip(flip(f;b);a)) 
   nerve_box_edge(box;f;b) 
   nerve_box_edge(box;flip(f;b);a))
∈ (cat-arrow(cat(G)) nerve_box_label(box;f) nerve_box_label(box;flip(flip(f;a);b)))
BY
{ TACTIC:((InstLemma `get_face_wf` [⌜cubical-nerve(cat(G))⌝;⌜I⌝;⌜J⌝;⌜x⌝;⌜i⌝;⌜box⌝;⌜j⌝;⌜f j⌝] ⋅ THENA Auto)
          THEN (MemTypeHD (-1) THENA Auto)
          THEN InstLemma `same-face-edge-arrows-commute4`
           [⌜cat(G)⌝;⌜I⌝;⌜J⌝;⌜x⌝;⌜i⌝;⌜box⌝;⌜f⌝;⌜a⌝;⌜b⌝]⋅
          THEN Auto
          THEN Try ((BLemma `l_exists_iff` THEN Auto))) }

1
1. G : Groupoid
2. I : Cname List
3. J : nameset(I) List
4. j : nameset(I)
5. (j ∈ J)
6. (∀j'∈J.j' = j ∈ Cname)
7. x : nameset(I)
8. i : ℕ2
9. box : open_box(cubical-nerve(cat(G));I;J;x;i)
10. f : name-morph(I;[])
11. a : nameset(I)
12. ¬(a = j ∈ Cname)
13. (f a) = 0 ∈ ℕ2
14. b : nameset(I)
15. ¬(b = j ∈ Cname)
16. (f b) = 0 ∈ ℕ2
17. ¬(a = b ∈ nameset(I))
18. get_face(j;f j;box) = get_face(j;f j;box) ∈ I-face(cubical-nerve(cat(G));I)
19. (get_face(j;f j;box) ∈ box)
20. face-name(get_face(j;f j;box)) = <j, f j> ∈ (nameset(I) × ℕ2)
⊢ (∃v∈box. (¬(dimension(v) = b ∈ Cname)) ∧ (¬(dimension(v) = a ∈ Cname)) ∧ (direction(v) = (f dimension(v)) ∈ ℕ2))

---

Latex:

---

Latex:

1.  G  :  Groupoid
2.  I  :  Cname  List
3.  J  :  nameset(I)  List
4.  j  :  nameset(I)
5.  (j  \mmember{}  J)
6.  (\mforall{}j'\mmember{}J.j'  =  j)
7.  x  :  nameset(I)
8.  i  :  \mBbbN{}2
9.  box  :  open\_box(cubical-nerve(cat(G));I;J;x;i)
10.  f  :  name-morph(I;[])
11.  a  :  nameset(I)
12.  \mneg{}(a  =  j)
13.  (f  a)  =  0
14.  b  :  nameset(I)
15.  \mneg{}(b  =  j)
16.  (f  b)  =  0
17.  \mneg{}(a  =  b)
\mvdash{}  (cat-comp(cat(G))  nerve\_box\_label(box;f)  nerve\_box\_label(box;flip(f;a)) 
      nerve\_box\_label(box;flip(flip(f;a);b)) 
      nerve\_box\_edge(box;f;a) 
      nerve\_box\_edge(box;flip(f;a);b))
=  (cat-comp(cat(G))  nerve\_box\_label(box;f)  nerve\_box\_label(box;flip(f;b)) 
      nerve\_box\_label(box;flip(flip(f;b);a)) 
      nerve\_box\_edge(box;f;b) 
      nerve\_box\_edge(box;flip(f;b);a))


By

---

Latex:
TACTIC:((InstLemma  `get\_face\_wf`  [\mkleeneopen{}cubical-nerve(cat(G))\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}I\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}J\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}x\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}i\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}box\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}j\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}f  j\mkleeneclose{}]
                  \mcdot{}
                  THENA  Auto
                  )
                THEN  (MemTypeHD  (-1)  THENA  Auto)
                THEN  InstLemma  `same-face-edge-arrows-commute4`
                  [\mkleeneopen{}cat(G)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}I\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}J\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}x\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}i\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}box\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}f\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}a\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}b\mkleeneclose{}]\mcdot{}
                THEN  Auto
                THEN  Try  ((BLemma  `l\_exists\_iff`  THEN  Auto)))

---

Home Index