---

Step * 1 of Lemma groupoid-edges-commute


1. G : Groupoid
2. I : Cname List
3. J : nameset(I) List
4. x : nameset(I)
5. i : ℕ2
6. box : open_box(cubical-nerve(fst(G));I;J;x;i)
7. (∃j1∈J. (∃j2∈J. ¬(j1 = j2 ∈ Cname)))
8. f : name-morph(I;[])
9. a : nameset(I)
10. (f a) = 0 ∈ ℕ2
11. b : nameset(I)
12. (f b) = 0 ∈ ℕ2
13. ¬(a = b ∈ nameset(I))
14. (∃v∈box. (¬(dimension(v) = b ∈ Cname)) ∧ (¬(dimension(v) = a ∈ Cname)) ∧ (direction(v) = (f dimension(v)) ∈ ℕ2))
⊢ (cat-comp(fst(G)) nerve_box_label(box;f) nerve_box_label(box;flip(f;a)) nerve_box_label(box;flip(flip(f;a);b)) 
   nerve_box_edge(box;f;a) 
   nerve_box_edge(box;flip(f;a);b))
= (cat-comp(fst(G)) nerve_box_label(box;f) nerve_box_label(box;flip(f;b)) nerve_box_label(box;flip(flip(f;b);a)) 
   nerve_box_edge(box;f;b) 
   nerve_box_edge(box;flip(f;b);a))
∈ (cat-arrow(fst(G)) nerve_box_label(box;f) nerve_box_label(box;flip(flip(f;a);b)))
BY
{ ((RWO "l_exists_iff" (-1) THENA Auto)
   THEN InstLemma `same-face-edge-arrows-commute3`
    [⌜cat(G)⌝;⌜I⌝;⌜J⌝;⌜x⌝;⌜i⌝;⌜box⌝;⌜f⌝;⌜a⌝;⌜b⌝]⋅
   THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  G  :  Groupoid
2.  I  :  Cname  List
3.  J  :  nameset(I)  List
4.  x  :  nameset(I)
5.  i  :  \mBbbN{}2
6.  box  :  open\_box(cubical-nerve(fst(G));I;J;x;i)
7.  (\mexists{}j1\mmember{}J.  (\mexists{}j2\mmember{}J.  \mneg{}(j1  =  j2)))
8.  f  :  name-morph(I;[])
9.  a  :  nameset(I)
10.  (f  a)  =  0
11.  b  :  nameset(I)
12.  (f  b)  =  0
13.  \mneg{}(a  =  b)
14.  (\mexists{}v\mmember{}box.  (\mneg{}(dimension(v)  =  b))  \mwedge{}  (\mneg{}(dimension(v)  =  a))  \mwedge{}  (direction(v)  =  (f  dimension(v))))
\mvdash{}  (cat-comp(fst(G))  nerve\_box\_label(box;f)  nerve\_box\_label(box;flip(f;a)) 
      nerve\_box\_label(box;flip(flip(f;a);b)) 
      nerve\_box\_edge(box;f;a) 
      nerve\_box\_edge(box;flip(f;a);b))
=  (cat-comp(fst(G))  nerve\_box\_label(box;f)  nerve\_box\_label(box;flip(f;b)) 
      nerve\_box\_label(box;flip(flip(f;b);a)) 
      nerve\_box\_edge(box;f;b) 
      nerve\_box\_edge(box;flip(f;b);a))


By

---

Latex:
((RWO  "l\_exists\_iff"  (-1)  THENA  Auto)
  THEN  InstLemma  `same-face-edge-arrows-commute3`
    [\mkleeneopen{}cat(G)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}I\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}J\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}x\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}i\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}box\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}f\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}a\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}b\mkleeneclose{}]\mcdot{}
  THEN  Auto)

---

Home Index