---

Step * 2 2 of Lemma groupoid-edges-commute


1. G : Groupoid
2. I : Cname List
3. J : nameset(I) List
4. x : nameset(I)
5. i : ℕ2
6. box : open_box(cubical-nerve(fst(G));I;J;x;i)
7. (∃j1∈J. (∃j2∈J. ¬(j1 = j2 ∈ Cname)))
8. f : name-morph(I;[])
9. a : nameset(I)
10. (f a) = 0 ∈ ℕ2
11. b : nameset(I)
12. (f b) = 0 ∈ ℕ2
13. ¬(a = b ∈ nameset(I))
14. ¬(∃v∈box. (¬(dimension(v) = b ∈ Cname)) ∧ (¬(dimension(v) = a ∈ Cname)) ∧ (direction(v) = (f dimension(v)) ∈ ℕ2))
15. (∀j∈J.(j = a ∈ Cname) ∨ (j = b ∈ Cname))
⊢ (cat-comp(fst(G)) nerve_box_label(box;f) nerve_box_label(box;flip(f;a)) nerve_box_label(box;flip(flip(f;a);b)) 
   nerve_box_edge(box;f;a) 
   nerve_box_edge(box;flip(f;a);b))
= (cat-comp(fst(G)) nerve_box_label(box;f) nerve_box_label(box;flip(f;b)) nerve_box_label(box;flip(flip(f;b);a)) 
   nerve_box_edge(box;f;b) 
   nerve_box_edge(box;flip(f;b);a))
∈ (cat-arrow(fst(G)) nerve_box_label(box;f) nerve_box_label(box;flip(flip(f;a);b)))
BY
{ (Assert (a ∈ J) ∧ (b ∈ J) ∧ (¬(x = a ∈ Cname)) ∧ (¬(x = b ∈ Cname)) BY
         (BetterSplitAndConcl
          THEN Try (((D 0 THENA Auto) THEN DVar `box' THEN Complete (Auto)))
          THEN (Assert (∀j∈J.(j = a ∈ Cname) ∨ (j = b ∈ Cname)) BY
                      Hypothesis)
          THEN OnMaybeHyp 7 (\h. ((D h THEN D h+1)
                                  THEN DupHyp (-1)
                                  THEN ((With ⌜i1⌝ (D (-1))⋅ THENA Auto)
                                        THEN D -1
                                        THEN Try ((With ⌜i1⌝ (D 0)⋅ THEN Complete (Auto))))
                                  THEN ((With ⌜i2⌝ (D (-2))⋅ THENA Auto) THEN D -1)
                                  THEN Try ((With ⌜i2⌝ (D 0)⋅ THEN Complete (Auto))))))) }

1
1. G : Groupoid
2. I : Cname List
3. J : nameset(I) List
4. x : nameset(I)
5. i : ℕ2
6. box : open_box(cubical-nerve(fst(G));I;J;x;i)
7. (∃j1∈J. (∃j2∈J. ¬(j1 = j2 ∈ Cname)))
8. f : name-morph(I;[])
9. a : nameset(I)
10. (f a) = 0 ∈ ℕ2
11. b : nameset(I)
12. (f b) = 0 ∈ ℕ2
13. ¬(a = b ∈ nameset(I))
14. ¬(∃v∈box. (¬(dimension(v) = b ∈ Cname)) ∧ (¬(dimension(v) = a ∈ Cname)) ∧ (direction(v) = (f dimension(v)) ∈ ℕ2))
15. (∀j∈J.(j = a ∈ Cname) ∨ (j = b ∈ Cname))
16. (a ∈ J) ∧ (b ∈ J) ∧ (¬(x = a ∈ Cname)) ∧ (¬(x = b ∈ Cname))
⊢ (cat-comp(fst(G)) nerve_box_label(box;f) nerve_box_label(box;flip(f;a)) nerve_box_label(box;flip(flip(f;a);b)) 
   nerve_box_edge(box;f;a) 
   nerve_box_edge(box;flip(f;a);b))
= (cat-comp(fst(G)) nerve_box_label(box;f) nerve_box_label(box;flip(f;b)) nerve_box_label(box;flip(flip(f;b);a)) 
   nerve_box_edge(box;f;b) 
   nerve_box_edge(box;flip(f;b);a))
∈ (cat-arrow(fst(G)) nerve_box_label(box;f) nerve_box_label(box;flip(flip(f;a);b)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  G  :  Groupoid
2.  I  :  Cname  List
3.  J  :  nameset(I)  List
4.  x  :  nameset(I)
5.  i  :  \mBbbN{}2
6.  box  :  open\_box(cubical-nerve(fst(G));I;J;x;i)
7.  (\mexists{}j1\mmember{}J.  (\mexists{}j2\mmember{}J.  \mneg{}(j1  =  j2)))
8.  f  :  name-morph(I;[])
9.  a  :  nameset(I)
10.  (f  a)  =  0
11.  b  :  nameset(I)
12.  (f  b)  =  0
13.  \mneg{}(a  =  b)
14.  \mneg{}(\mexists{}v\mmember{}box.  (\mneg{}(dimension(v)  =  b))  \mwedge{}  (\mneg{}(dimension(v)  =  a))  \mwedge{}  (direction(v)  =  (f  dimension(v))))
15.  (\mforall{}j\mmember{}J.(j  =  a)  \mvee{}  (j  =  b))
\mvdash{}  (cat-comp(fst(G))  nerve\_box\_label(box;f)  nerve\_box\_label(box;flip(f;a)) 
      nerve\_box\_label(box;flip(flip(f;a);b)) 
      nerve\_box\_edge(box;f;a) 
      nerve\_box\_edge(box;flip(f;a);b))
=  (cat-comp(fst(G))  nerve\_box\_label(box;f)  nerve\_box\_label(box;flip(f;b)) 
      nerve\_box\_label(box;flip(flip(f;b);a)) 
      nerve\_box\_edge(box;f;b) 
      nerve\_box\_edge(box;flip(f;b);a))


By

---

Latex:
(Assert  (a  \mmember{}  J)  \mwedge{}  (b  \mmember{}  J)  \mwedge{}  (\mneg{}(x  =  a))  \mwedge{}  (\mneg{}(x  =  b))  BY
              (BetterSplitAndConcl
                THEN  Try  (((D  0  THENA  Auto)  THEN  DVar  `box'  THEN  Complete  (Auto)))
                THEN  (Assert  (\mforall{}j\mmember{}J.(j  =  a)  \mvee{}  (j  =  b))  BY
                                        Hypothesis)
                THEN  OnMaybeHyp  7  (\mbackslash{}h.  ((D  h  THEN  D  h+1)
                                                                THEN  DupHyp  (-1)
                                                                THEN  ((With  \mkleeneopen{}i1\mkleeneclose{}  (D  (-1))\mcdot{}  THENA  Auto)
                                                                            THEN  D  -1
                                                                            THEN  Try  ((With  \mkleeneopen{}i1\mkleeneclose{}  (D  0)\mcdot{}  THEN  Complete  (Auto))))
                                                                THEN  ((With  \mkleeneopen{}i2\mkleeneclose{}  (D  (-2))\mcdot{}  THENA  Auto)  THEN  D  -1)
                                                                THEN  Try  ((With  \mkleeneopen{}i2\mkleeneclose{}  (D  0)\mcdot{}  THEN  Complete  (Auto)))))))

---

Home Index