---

Step * 1 of Lemma nerve_box_edge_wf2


1. C : SmallCategory
2. I : Cname List
3. J : nameset(I) List
4. x : nameset(I)
5. i : ℕ2
6. box : open_box(cubical-nerve(C);I;J;x;i)
7. ∀[L:name-morph(I;[])]
     ∀f:I-face(cubical-nerve(C);I)
       ((cube(f) L) = nerve_box_label(box;L) ∈ cat-ob(C)) supposing 
          ((f ∈ box) and 
          (direction(f) = (L dimension(f)) ∈ ℕ2)) 
     supposing ((L x) = i ∈ ℕ2) ∨ (¬↑null(J))
8. y : nameset(I)
9. c : {c:name-morph(I;[])| (c y) = 0 ∈ ℕ2} 
10. v : I-face(cubical-nerve(C);I)
11. (v ∈ box) ∧ (direction(v) = (c dimension(v)) ∈ ℕ2) ∧ (direction(v) = (flip(c;y) dimension(v)) ∈ ℕ2)
12. nerve-box-common-face(box;c;y)
= v
∈ {f:I-face(cubical-nerve(C);I)| 
   (f ∈ box) ∧ (direction(f) = (c dimension(f)) ∈ ℕ2) ∧ (direction(f) = (flip(c;y) dimension(f)) ∈ ℕ2)} 
13. ¬↑null(J)
14. (cube(v) c) = nerve_box_label(box;c) ∈ cat-ob(C)
15. (cube(v) flip(c;y)) = nerve_box_label(box;flip(c;y)) ∈ cat-ob(C)
⊢ cube(v) c flip(c;y) (λx.Ax) ∈ cat-arrow(C) (cube(v) c) (cube(v) flip(c;y))
BY
{ Assert ⌜(c ∈ cat-ob(poset-cat(I-[dimension(v)])))
          ∧ (flip(c;y) ∈ cat-ob(poset-cat(I-[dimension(v)])))
          ∧ (λx.Ax ∈ cat-arrow(poset-cat(I-[dimension(v)])) c flip(c;y))⌝⋅ }

1
.....assertion..... 
1. C : SmallCategory
2. I : Cname List
3. J : nameset(I) List
4. x : nameset(I)
5. i : ℕ2
6. box : open_box(cubical-nerve(C);I;J;x;i)
7. ∀[L:name-morph(I;[])]
     ∀f:I-face(cubical-nerve(C);I)
       ((cube(f) L) = nerve_box_label(box;L) ∈ cat-ob(C)) supposing 
          ((f ∈ box) and 
          (direction(f) = (L dimension(f)) ∈ ℕ2)) 
     supposing ((L x) = i ∈ ℕ2) ∨ (¬↑null(J))
8. y : nameset(I)
9. c : {c:name-morph(I;[])| (c y) = 0 ∈ ℕ2} 
10. v : I-face(cubical-nerve(C);I)
11. (v ∈ box) ∧ (direction(v) = (c dimension(v)) ∈ ℕ2) ∧ (direction(v) = (flip(c;y) dimension(v)) ∈ ℕ2)
12. nerve-box-common-face(box;c;y)
= v
∈ {f:I-face(cubical-nerve(C);I)| 
   (f ∈ box) ∧ (direction(f) = (c dimension(f)) ∈ ℕ2) ∧ (direction(f) = (flip(c;y) dimension(f)) ∈ ℕ2)} 
13. ¬↑null(J)
14. (cube(v) c) = nerve_box_label(box;c) ∈ cat-ob(C)
15. (cube(v) flip(c;y)) = nerve_box_label(box;flip(c;y)) ∈ cat-ob(C)
⊢ (c ∈ cat-ob(poset-cat(I-[dimension(v)])))
∧ (flip(c;y) ∈ cat-ob(poset-cat(I-[dimension(v)])))
∧ (λx.Ax ∈ cat-arrow(poset-cat(I-[dimension(v)])) c flip(c;y))

2
1. C : SmallCategory
2. I : Cname List
3. J : nameset(I) List
4. x : nameset(I)
5. i : ℕ2
6. box : open_box(cubical-nerve(C);I;J;x;i)
7. ∀[L:name-morph(I;[])]
     ∀f:I-face(cubical-nerve(C);I)
       ((cube(f) L) = nerve_box_label(box;L) ∈ cat-ob(C)) supposing 
          ((f ∈ box) and 
          (direction(f) = (L dimension(f)) ∈ ℕ2)) 
     supposing ((L x) = i ∈ ℕ2) ∨ (¬↑null(J))
8. y : nameset(I)
9. c : {c:name-morph(I;[])| (c y) = 0 ∈ ℕ2} 
10. v : I-face(cubical-nerve(C);I)
11. (v ∈ box) ∧ (direction(v) = (c dimension(v)) ∈ ℕ2) ∧ (direction(v) = (flip(c;y) dimension(v)) ∈ ℕ2)
12. nerve-box-common-face(box;c;y)
= v
∈ {f:I-face(cubical-nerve(C);I)| 
   (f ∈ box) ∧ (direction(f) = (c dimension(f)) ∈ ℕ2) ∧ (direction(f) = (flip(c;y) dimension(f)) ∈ ℕ2)} 
13. ¬↑null(J)
14. (cube(v) c) = nerve_box_label(box;c) ∈ cat-ob(C)
15. (cube(v) flip(c;y)) = nerve_box_label(box;flip(c;y)) ∈ cat-ob(C)
16. (c ∈ cat-ob(poset-cat(I-[dimension(v)])))
∧ (flip(c;y) ∈ cat-ob(poset-cat(I-[dimension(v)])))
∧ (λx.Ax ∈ cat-arrow(poset-cat(I-[dimension(v)])) c flip(c;y))
⊢ cube(v) c flip(c;y) (λx.Ax) ∈ cat-arrow(C) (cube(v) c) (cube(v) flip(c;y))

---

Latex:

---

Latex:

1.  C  :  SmallCategory
2.  I  :  Cname  List
3.  J  :  nameset(I)  List
4.  x  :  nameset(I)
5.  i  :  \mBbbN{}2
6.  box  :  open\_box(cubical-nerve(C);I;J;x;i)
7.  \mforall{}[L:name-morph(I;[])]
          \mforall{}f:I-face(cubical-nerve(C);I)
              ((cube(f)  L)  =  nerve\_box\_label(box;L))  supposing 
                    ((f  \mmember{}  box)  and 
                    (direction(f)  =  (L  dimension(f)))) 
          supposing  ((L  x)  =  i)  \mvee{}  (\mneg{}\muparrow{}null(J))
8.  y  :  nameset(I)
9.  c  :  \{c:name-morph(I;[])|  (c  y)  =  0\} 
10.  v  :  I-face(cubical-nerve(C);I)
11.  (v  \mmember{}  box)  \mwedge{}  (direction(v)  =  (c  dimension(v)))  \mwedge{}  (direction(v)  =  (flip(c;y)  dimension(v)))
12.  nerve-box-common-face(box;c;y)  =  v
13.  \mneg{}\muparrow{}null(J)
14.  (cube(v)  c)  =  nerve\_box\_label(box;c)
15.  (cube(v)  flip(c;y))  =  nerve\_box\_label(box;flip(c;y))
\mvdash{}  cube(v)  c  flip(c;y)  (\mlambda{}x.Ax)  \mmember{}  cat-arrow(C)  (cube(v)  c)  (cube(v)  flip(c;y))


By

---

Latex:
Assert  \mkleeneopen{}(c  \mmember{}  cat-ob(poset-cat(I-[dimension(v)])))
                \mwedge{}  (flip(c;y)  \mmember{}  cat-ob(poset-cat(I-[dimension(v)])))
                \mwedge{}  (\mlambda{}x.Ax  \mmember{}  cat-arrow(poset-cat(I-[dimension(v)]))  c  flip(c;y))\mkleeneclose{}\mcdot{}

---

Home Index