---

Step * of Lemma same-face-edge-arrows-commute4

∀[C:SmallCategory]. ∀[I:Cname List]. ∀[J:nameset(I) List]. ∀[x:nameset(I)]. ∀[i:ℕ2].
∀[box:open_box(cubical-nerve(C);I;J;x;i)].
  ∀f:name-morph(I;[]). ∀a,b:nameset(I).
    ((cat-comp(C) nerve_box_label(box;f) nerve_box_label(box;flip(f;a)) nerve_box_label(box;flip(flip(f;a);b)) 
      nerve_box_edge(box;f;a) 
      nerve_box_edge(box;flip(f;a);b))
       = (cat-comp(C) nerve_box_label(box;f) nerve_box_label(box;flip(f;b)) nerve_box_label(box;flip(flip(f;b);a)) 
          nerve_box_edge(box;f;b) 
          nerve_box_edge(box;flip(f;b);a))
       ∈ (cat-arrow(C) nerve_box_label(box;f) nerve_box_label(box;flip(flip(f;a);b)))) supposing 
       ((¬(a = b ∈ nameset(I))) and 
       ((f b) = 0 ∈ ℕ2) and 
       ((f a) = 0 ∈ ℕ2) and 
       (∃v:I-face(cubical-nerve(C);I)
         ((v ∈ box)
         ∧ (¬(dimension(v) = b ∈ Cname))
         ∧ (¬(dimension(v) = a ∈ Cname))
         ∧ (direction(v) = (f dimension(v)) ∈ ℕ2))) and 
       ((∃j1∈J. ¬(j1 = a ∈ Cname)) ∧ (∃j2∈J. ¬(j2 = b ∈ Cname))))
BY
{ (InstLemma `same-face-edge-arrows-commute1` []
   THEN RepeatFor 10 (ParallelLast')
   THEN Auto
   THEN ExRepD
   THEN InstHyp [⌜v⌝] 12⋅
   THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}[C:SmallCategory].  \mforall{}[I:Cname  List].  \mforall{}[J:nameset(I)  List].  \mforall{}[x:nameset(I)].  \mforall{}[i:\mBbbN{}2].
\mforall{}[box:open\_box(cubical-nerve(C);I;J;x;i)].
    \mforall{}f:name-morph(I;[]).  \mforall{}a,b:nameset(I).
        ((cat-comp(C)  nerve\_box\_label(box;f)  nerve\_box\_label(box;flip(f;a)) 
            nerve\_box\_label(box;flip(flip(f;a);b)) 
            nerve\_box\_edge(box;f;a) 
            nerve\_box\_edge(box;flip(f;a);b))
              =  (cat-comp(C)  nerve\_box\_label(box;f)  nerve\_box\_label(box;flip(f;b)) 
                    nerve\_box\_label(box;flip(flip(f;b);a)) 
                    nerve\_box\_edge(box;f;b) 
                    nerve\_box\_edge(box;flip(f;b);a)))  supposing 
              ((\mneg{}(a  =  b))  and 
              ((f  b)  =  0)  and 
              ((f  a)  =  0)  and 
              (\mexists{}v:I-face(cubical-nerve(C);I)
                  ((v  \mmember{}  box)
                  \mwedge{}  (\mneg{}(dimension(v)  =  b))
                  \mwedge{}  (\mneg{}(dimension(v)  =  a))
                  \mwedge{}  (direction(v)  =  (f  dimension(v)))))  and 
              ((\mexists{}j1\mmember{}J.  \mneg{}(j1  =  a))  \mwedge{}  (\mexists{}j2\mmember{}J.  \mneg{}(j2  =  b))))


By

---

Latex:
(InstLemma  `same-face-edge-arrows-commute1`  []
  THEN  RepeatFor  10  (ParallelLast')
  THEN  Auto
  THEN  ExRepD
  THEN  InstHyp  [\mkleeneopen{}v\mkleeneclose{}]  12\mcdot{}
  THEN  Auto)

---

Home Index