---

Step * 3 of Lemma context-subset-map

.....wf..... 
1. Gamma : CubicalSet{j}
2. phi : {Gamma ⊢ _:𝔽}
3. Z : CubicalSet{j}
4. s : A:fset(ℕ) ⟶ ((fst(Z)) A) ⟶ ((fst(Gamma)) A)
5. ∀A,B:fset(ℕ). ∀g:B ⟶ A.
     ((((snd(Gamma)) A B g) o (s A)) = ((s B) o ((snd(Z)) A B g)) ∈ (((fst(Z)) A) ⟶ ((fst(Gamma)) B)))
6. s ∈ Z j⟶ Gamma
7. (phi)s ∈ {Z ⊢ _:𝔽}
8. trans : A:fset(ℕ)
⟶ {rho:Z(A)| (phi)s(rho) = 1 ∈ Point(face_lattice(A))} 
⟶ {rho:Gamma(A)| phi(rho) = 1 ∈ Point(face_lattice(A))} 
⊢ istype(∀A,B:fset(ℕ). ∀g:B ⟶ A.
           ((λx.g(trans A x))
           = (λx.(trans B g(x)))
           ∈ ({rho:Z(A)| (phi)s(rho) = 1 ∈ Point(face_lattice(A))}  ⟶ {rho:Gamma(B)| 
                                                                      phi(rho) = 1 ∈ Point(face_lattice(B))} )))
BY
{ (Thin (-3) THEN RepeatFor 3 ((D 0 THENL [Auto; Id])) THEN EqualityIsType1) }

1
1. Gamma : CubicalSet{j}
2. phi : {Gamma ⊢ _:𝔽}
3. Z : CubicalSet{j}
4. s : A:fset(ℕ) ⟶ ((fst(Z)) A) ⟶ ((fst(Gamma)) A)
5. ∀A,B:fset(ℕ). ∀g:B ⟶ A.
     ((((snd(Gamma)) A B g) o (s A)) = ((s B) o ((snd(Z)) A B g)) ∈ (((fst(Z)) A) ⟶ ((fst(Gamma)) B)))
6. (phi)s ∈ {Z ⊢ _:𝔽}
7. trans : A:fset(ℕ)
⟶ {rho:Z(A)| (phi)s(rho) = 1 ∈ Point(face_lattice(A))} 
⟶ {rho:Gamma(A)| phi(rho) = 1 ∈ Point(face_lattice(A))} 
8. A : fset(ℕ)
9. B : fset(ℕ)
10. g : B ⟶ A
⊢ istype({rho:Z(A)| (phi)s(rho) = 1 ∈ Point(face_lattice(A))}  ⟶ {rho:Gamma(B)| phi(rho) = 1 ∈ Point(face_lattice(B))} \000C)

2
1. Gamma : CubicalSet{j}
2. phi : {Gamma ⊢ _:𝔽}
3. Z : CubicalSet{j}
4. s : A:fset(ℕ) ⟶ ((fst(Z)) A) ⟶ ((fst(Gamma)) A)
5. ∀A,B:fset(ℕ). ∀g:B ⟶ A.
     ((((snd(Gamma)) A B g) o (s A)) = ((s B) o ((snd(Z)) A B g)) ∈ (((fst(Z)) A) ⟶ ((fst(Gamma)) B)))
6. (phi)s ∈ {Z ⊢ _:𝔽}
7. trans : A:fset(ℕ)
⟶ {rho:Z(A)| (phi)s(rho) = 1 ∈ Point(face_lattice(A))} 
⟶ {rho:Gamma(A)| phi(rho) = 1 ∈ Point(face_lattice(A))} 
8. A : fset(ℕ)
9. B : fset(ℕ)
10. g : B ⟶ A
⊢ λx.g(trans A x) ∈ {rho:Z(A)| (phi)s(rho) = 1 ∈ Point(face_lattice(A))}  ⟶ {rho:Gamma(B)| phi(rho) = 1 ∈ Point(face_la\000Cttice(B))} 

3
1. Gamma : CubicalSet{j}
2. phi : {Gamma ⊢ _:𝔽}
3. Z : CubicalSet{j}
4. s : A:fset(ℕ) ⟶ ((fst(Z)) A) ⟶ ((fst(Gamma)) A)
5. ∀A,B:fset(ℕ). ∀g:B ⟶ A.
     ((((snd(Gamma)) A B g) o (s A)) = ((s B) o ((snd(Z)) A B g)) ∈ (((fst(Z)) A) ⟶ ((fst(Gamma)) B)))
6. (phi)s ∈ {Z ⊢ _:𝔽}
7. trans : A:fset(ℕ)
⟶ {rho:Z(A)| (phi)s(rho) = 1 ∈ Point(face_lattice(A))} 
⟶ {rho:Gamma(A)| phi(rho) = 1 ∈ Point(face_lattice(A))} 
8. A : fset(ℕ)
9. B : fset(ℕ)
10. g : B ⟶ A
⊢ λx.(trans B g(x)) ∈ {rho:Z(A)| (phi)s(rho) = 1 ∈ Point(face_lattice(A))}  ⟶ {rho:Gamma(B)| phi(rho) = 1 ∈ Point(face_\000Clattice(B))} 

---

Latex:

---

Latex:
.....wf..... 
1.  Gamma  :  CubicalSet\{j\}
2.  phi  :  \{Gamma  \mvdash{}  \_:\mBbbF{}\}
3.  Z  :  CubicalSet\{j\}
4.  s  :  A:fset(\mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  ((fst(Z))  A)  {}\mrightarrow{}  ((fst(Gamma))  A)
5.  \mforall{}A,B:fset(\mBbbN{}).  \mforall{}g:B  {}\mrightarrow{}  A.    ((((snd(Gamma))  A  B  g)  o  (s  A))  =  ((s  B)  o  ((snd(Z))  A  B  g)))
6.  s  \mmember{}  Z  j{}\mrightarrow{}  Gamma
7.  (phi)s  \mmember{}  \{Z  \mvdash{}  \_:\mBbbF{}\}
8.  trans  :  A:fset(\mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  \{rho:Z(A)|  (phi)s(rho)  =  1\}    {}\mrightarrow{}  \{rho:Gamma(A)|  phi(rho)  =  1\} 
\mvdash{}  istype(\mforall{}A,B:fset(\mBbbN{}).  \mforall{}g:B  {}\mrightarrow{}  A.    ((\mlambda{}x.g(trans  A  x))  =  (\mlambda{}x.(trans  B  g(x)))))


By

---

Latex:
(Thin  (-3)  THEN  RepeatFor  3  ((D  0  THENL  [Auto;  Id]))  THEN  EqualityIsType1)

---

Home Index