---

Step * 1 1 of Lemma csm-cubical-fiber


1. X : CubicalSet{j}
2. T : {X ⊢ _}
3. A : {X ⊢ _}
4. w : {X ⊢ _:(T ⟶ A)}
5. a : {X ⊢ _:A}
6. Z : CubicalSet{j}
7. s : Z j⟶ X
8. (w)p ∈ {X.T ⊢ _:((T)p ⟶ (A)p)}
9. ((w)s)p ∈ {Z.(T)s ⊢ _:(((T ⟶ A))s)p}
10. (((T ⟶ A))s)p = (Z.(T)s ⊢ ((T)s)p ⟶ ((A)s)p) ∈ {Z.(T)s ⊢ _}
11. (A)s o p = ((A)s)p ∈ {Z.(T)s ⊢ _}
⊢ Σ (T)s ((Path_(A)p (a)p app((w)p; q)))(s o p;q) = Σ (T)s (Path_((A)s)p ((a)s)p app(((w)s)p; q)) ∈ {Z ⊢ _}
BY
{ ((Assert ((a)s)p = ((a)p)(s o p;q) ∈ {Z.(T)s ⊢ _:((A)s)p} BY
          (RWO  "csm-ap-comp-term-sq2" 0 THEN Auto))
   THEN (Enough to prove app(((w)s)p; q) = (app((w)p; q))(s o p;q) ∈ {Z.(T)s ⊢ _:((A)s)p}
          Because (EqCD
                   THEN Auto
                   THEN (InstLemmaIJ `csm-path-type` [⌜X.T⌝;⌜Z.(T)s⌝;⌜(s o p;q)⌝ ;⌜(A)p⌝;⌜(a)p⌝;⌜app((w)p; q)⌝]⋅
                         THENA Auto
                         )
                   THEN NthHypEqGen (-1)
                   THEN RepeatFor 2 ((EqCD THEN Try (Complete (Auto))))))
   ) }

1
1. X : CubicalSet{j}
2. T : {X ⊢ _}
3. A : {X ⊢ _}
4. w : {X ⊢ _:(T ⟶ A)}
5. a : {X ⊢ _:A}
6. Z : CubicalSet{j}
7. s : Z j⟶ X
8. (w)p ∈ {X.T ⊢ _:((T)p ⟶ (A)p)}
9. ((w)s)p ∈ {Z.(T)s ⊢ _:(((T ⟶ A))s)p}
10. (((T ⟶ A))s)p = (Z.(T)s ⊢ ((T)s)p ⟶ ((A)s)p) ∈ {Z.(T)s ⊢ _}
11. (A)s o p = ((A)s)p ∈ {Z.(T)s ⊢ _}
12. ((a)s)p = ((a)p)(s o p;q) ∈ {Z.(T)s ⊢ _:((A)s)p}
⊢ app(((w)s)p; q) = (app((w)p; q))(s o p;q) ∈ {Z.(T)s ⊢ _:((A)s)p}

---

Latex:

---

Latex:

1.  X  :  CubicalSet\{j\}
2.  T  :  \{X  \mvdash{}  \_\}
3.  A  :  \{X  \mvdash{}  \_\}
4.  w  :  \{X  \mvdash{}  \_:(T  {}\mrightarrow{}  A)\}
5.  a  :  \{X  \mvdash{}  \_:A\}
6.  Z  :  CubicalSet\{j\}
7.  s  :  Z  j{}\mrightarrow{}  X
8.  (w)p  \mmember{}  \{X.T  \mvdash{}  \_:((T)p  {}\mrightarrow{}  (A)p)\}
9.  ((w)s)p  \mmember{}  \{Z.(T)s  \mvdash{}  \_:(((T  {}\mrightarrow{}  A))s)p\}
10.  (((T  {}\mrightarrow{}  A))s)p  =  (Z.(T)s  \mvdash{}  ((T)s)p  {}\mrightarrow{}  ((A)s)p)
11.  (A)s  o  p  =  ((A)s)p
\mvdash{}  \mSigma{}  (T)s  ((Path\_(A)p  (a)p  app((w)p;  q)))(s  o  p;q)  =  \mSigma{}  (T)s  (Path\_((A)s)p  ((a)s)p  app(((w)s)p;  q))


By

---

Latex:
((Assert  ((a)s)p  =  ((a)p)(s  o  p;q)  BY
                (RWO    "csm-ap-comp-term-sq2"  0  THEN  Auto))
  THEN  (Enough  to  prove  app(((w)s)p;  q)  =  (app((w)p;  q))(s  o  p;q)
                Because  (EqCD
                                  THEN  Auto
                                  THEN  (InstLemmaIJ  `csm-path-type`  [\mkleeneopen{}X.T\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}Z.(T)s\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}(s  o  p;q)\mkleeneclose{}  ;\mkleeneopen{}(A)p\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}(a)p\mkleeneclose{};
                                              \mkleeneopen{}app((w)p;  q)\mkleeneclose{}]\mcdot{}
                                              THENA  Auto
                                              )
                                  THEN  NthHypEqGen  (-1)
                                  THEN  RepeatFor  2  ((EqCD  THEN  Try  (Complete  (Auto))))))
  )

---

Home Index