---

Step * 2 of Lemma csm-equiv-path2


1. G : CubicalSet{j}
2. A : {G ⊢ _}
3. B : {G ⊢ _}
4. cA : G +⊢ Compositon(A)
5. cB : G +⊢ Compositon(B)
6. f : {G ⊢ _:Equiv(A;B)}
7. H : CubicalSet{j}
8. s : H j⟶ G
9. G.𝕀, ((q=0) ∨ (q=1)) ⊢ (if (q=0) then (A)p else (B)p)
10. ∀[A:{G.𝕀 ⊢ _}]. ∀[psi:{G.𝕀 ⊢ _:𝔽}]. ∀[T:{G.𝕀, psi ⊢ _}]. ∀[cA,cT,f,tau:Top].
      ((comp(Glue [psi ⊢→ (T, f)] A) )tau ~ comp(Glue [(psi)tau ⊢→ ((T)tau, (f)tau)] (A)tau) )
⊢ comp(Glue [(((q=0) ∨ (q=1)))s+ ⊢→ (((if (q=0) then (A)p else (B)p))s+, (cubical-equiv-by-cases(G;B;f))s+)] ((B)p)s+) 
= equiv-path2(H;(A)s;(B)s;(cA)s;(cB)s;(f)s)
∈ H.𝕀 +⊢ Compositon(equiv-path1(H;(A)s;(B)s;(f)s))
BY
{ ((Subst' (((q=0) ∨ (q=1)))s+ ~ ((q=0) ∨ (q=1)) 0
    THENA ((RWW  "csm-face-or csm-face-zero csm-face-one" 0 THENA Auto) THEN CsmUnfolding THEN Auto)
    )
   THEN (Subst' ((B)p)s+ ~ ((B)s)p 0 THENA CsmUnfoldingComp)
   THEN (RWO "csm-case-type" 0 THENA Auto)
   THEN (Subst' ((A)p)s+ ~ ((A)s)p 0 THENA (CsmUnfolding THEN Auto))
   THEN (Subst' ((B)p)s+ ~ ((B)s)p 0 THENA (CsmUnfolding THEN Auto))) }

1
1. G : CubicalSet{j}
2. A : {G ⊢ _}
3. B : {G ⊢ _}
4. cA : G +⊢ Compositon(A)
5. cB : G +⊢ Compositon(B)
6. f : {G ⊢ _:Equiv(A;B)}
7. H : CubicalSet{j}
8. s : H j⟶ G
9. G.𝕀, ((q=0) ∨ (q=1)) ⊢ (if (q=0) then (A)p else (B)p)
10. ∀[A:{G.𝕀 ⊢ _}]. ∀[psi:{G.𝕀 ⊢ _:𝔽}]. ∀[T:{G.𝕀, psi ⊢ _}]. ∀[cA,cT,f,tau:Top].
      ((comp(Glue [psi ⊢→ (T, f)] A) )tau ~ comp(Glue [(psi)tau ⊢→ ((T)tau, (f)tau)] (A)tau) )
⊢ comp(Glue [((q=0) ∨ (q=1)) ⊢→ ((if ((q=0))s+ then ((A)s)p else ((B)s)p), (cubical-equiv-by-cases(G;B;f))s+)] ((B)s)p) 
= equiv-path2(H;(A)s;(B)s;(cA)s;(cB)s;(f)s)
∈ H.𝕀 +⊢ Compositon(equiv-path1(H;(A)s;(B)s;(f)s))

---

Latex:

---

Latex:

1.  G  :  CubicalSet\{j\}
2.  A  :  \{G  \mvdash{}  \_\}
3.  B  :  \{G  \mvdash{}  \_\}
4.  cA  :  G  +\mvdash{}  Compositon(A)
5.  cB  :  G  +\mvdash{}  Compositon(B)
6.  f  :  \{G  \mvdash{}  \_:Equiv(A;B)\}
7.  H  :  CubicalSet\{j\}
8.  s  :  H  j{}\mrightarrow{}  G
9.  G.\mBbbI{},  ((q=0)  \mvee{}  (q=1))  \mvdash{}  (if  (q=0)  then  (A)p  else  (B)p)
10.  \mforall{}[A:\{G.\mBbbI{}  \mvdash{}  \_\}].  \mforall{}[psi:\{G.\mBbbI{}  \mvdash{}  \_:\mBbbF{}\}].  \mforall{}[T:\{G.\mBbbI{},  psi  \mvdash{}  \_\}].  \mforall{}[cA,cT,f,tau:Top].
            ((comp(Glue  [psi  \mvdash{}\mrightarrow{}  (T,  f)]  A)  )tau  \msim{}  comp(Glue  [(psi)tau  \mvdash{}\mrightarrow{}  ((T)tau,  (f)tau)]  (A)tau)  )
\mvdash{}  comp(Glue  [(((q=0)  \mvee{}  (q=1)))s+  \mvdash{}\mrightarrow{}  (((if  (q=0)  then  (A)p  else  (B)p))s+,
                                                                          (cubical-equiv-by-cases(G;B;f))s+)]  ((B)p)s+) 
=  equiv-path2(H;(A)s;(B)s;(cA)s;(cB)s;(f)s)


By

---

Latex:
((Subst'  (((q=0)  \mvee{}  (q=1)))s+  \msim{}  ((q=0)  \mvee{}  (q=1))  0
    THENA  ((RWW    "csm-face-or  csm-face-zero  csm-face-one"  0  THENA  Auto)  THEN  CsmUnfolding  THEN  Auto)
    )
  THEN  (Subst'  ((B)p)s+  \msim{}  ((B)s)p  0  THENA  CsmUnfoldingComp)
  THEN  (RWO  "csm-case-type"  0  THENA  Auto)
  THEN  (Subst'  ((A)p)s+  \msim{}  ((A)s)p  0  THENA  (CsmUnfolding  THEN  Auto))
  THEN  (Subst'  ((B)p)s+  \msim{}  ((B)s)p  0  THENA  (CsmUnfolding  THEN  Auto)))

---

Home Index