---

Step * 1 1 of Lemma csm-pres


1. G : CubicalSet{j}
2. phi : {G ⊢ _:𝔽}
3. A : {G.𝕀 ⊢ _}
4. T : {G.𝕀 ⊢ _}
5. f : {G.𝕀 ⊢ _:(T ⟶ A)}
6. t : {G.𝕀, (phi)p ⊢ _:T}
7. t0 : {G ⊢ _:(T)[0(𝕀)][phi |⟶ t[0]]}
8. cT : G.𝕀 +⊢ Compositon(T)
9. cA : G.𝕀 +⊢ Compositon(A)
10. H : CubicalSet{j}
11. s : H j⟶ G
12. s+ ∈ H.𝕀 ij⟶ G.𝕀
⊢ (<>(comp (cA)p+ [((phi)p ∨ (q=1)) ⊢→ (presw(G;phi;f;t;t0;cT))p+] (pres-a0(G;f;t0))p))s
= H ⊢ <>(comp ((cA)s+)p+ [(((phi)s)p ∨ (q=1)) ⊢→ (presw(H;(phi)s;(f)s+;(t)s+;(t0)s;(cT)s+))p+]
             (pres-a0(H;(f)s+;(t0)s))p)
∈ {H ⊢ _:(Path_((A)s+)[1(𝕀)] pres-c1(H;(phi)s;(f)s+;(t)s+;(t0)s;(cA)s+) pres-c2(H;(phi)s;(f)s+;(t)s+;(t0)s;(cT)s+))}
BY
{ ((InstLemma `csm+_wf` [⌜G⌝;⌜G.𝕀⌝;⌜𝕀⌝;⌜p⌝]⋅ THENA Auto)
   THEN (RWO "csm-interval-type" (-1) THENA Auto)
   THEN (Assert ⌜app(f; t) ∈ {G.𝕀, (phi)p ⊢ _:A}⌝⋅
         THENA ((Assert ⌜f ∈ {G.𝕀, (phi)p ⊢ _:(T ⟶ A)}⌝⋅ THENA Auto)
                THEN CubicalAppFun⋅
                THEN RWW "cubical-fun-subset" 0
                THEN Auto)
         )
   THEN (Assert {G.𝕀.𝕀 ⊢ _:(A)p+} ⊆r {G.𝕀, ((phi)p ∨ (q=1)).𝕀 ⊢ _:(A)p+} BY
               (BLemma `subset-cubical-term` THEN EAuto 2))
   THEN (Assert ⌜{G.𝕀 ⊢ _:((A)p+)[1(𝕀)][((phi)p ∨ (q=1)) |⟶ ((presw(G;phi;f;t;t0;cT))p+)[1(𝕀)]]} ∈ 𝕌{[i' | j']}⌝⋅
         THENA ((Enough to prove ((presw(G;phi;f;t;t0;cT))p+)[1(𝕀)] ∈ {G.𝕀, ((phi)p ∨ (q=1)) ⊢ _:((A)p+)[1(𝕀)]}
                  Because Auto)
                THEN SubsumeC ⌜{G.𝕀 ⊢ _:((A)p+)[1(𝕀)]}⌝⋅
                THEN Auto)
         )
   THEN (Assert (presw(G;phi;f;t;t0;cT))p+ ∈ {G.𝕀, ((phi)p ∨ (q=1)).𝕀 ⊢ _:(A)p+} BY
               (DoSubsume THEN Auto))) }

1
1. G : CubicalSet{j}
2. phi : {G ⊢ _:𝔽}
3. A : {G.𝕀 ⊢ _}
4. T : {G.𝕀 ⊢ _}
5. f : {G.𝕀 ⊢ _:(T ⟶ A)}
6. t : {G.𝕀, (phi)p ⊢ _:T}
7. t0 : {G ⊢ _:(T)[0(𝕀)][phi |⟶ t[0]]}
8. cT : G.𝕀 +⊢ Compositon(T)
9. cA : G.𝕀 +⊢ Compositon(A)
10. H : CubicalSet{j}
11. s : H j⟶ G
12. s+ ∈ H.𝕀 ij⟶ G.𝕀
13. p+ ∈ G.𝕀.𝕀 ij⟶ G.𝕀
14. app(f; t) ∈ {G.𝕀, (phi)p ⊢ _:A}
15. {G.𝕀.𝕀 ⊢ _:(A)p+} ⊆r {G.𝕀, ((phi)p ∨ (q=1)).𝕀 ⊢ _:(A)p+}
16. {G.𝕀 ⊢ _:((A)p+)[1(𝕀)][((phi)p ∨ (q=1)) |⟶ ((presw(G;phi;f;t;t0;cT))p+)[1(𝕀)]]} ∈ 𝕌{[i' | j']}
17. (presw(G;phi;f;t;t0;cT))p+ ∈ {G.𝕀, ((phi)p ∨ (q=1)).𝕀 ⊢ _:(A)p+}
⊢ (<>(comp (cA)p+ [((phi)p ∨ (q=1)) ⊢→ (presw(G;phi;f;t;t0;cT))p+] (pres-a0(G;f;t0))p))s
= H ⊢ <>(comp ((cA)s+)p+ [(((phi)s)p ∨ (q=1)) ⊢→ (presw(H;(phi)s;(f)s+;(t)s+;(t0)s;(cT)s+))p+]
             (pres-a0(H;(f)s+;(t0)s))p)
∈ {H ⊢ _:(Path_((A)s+)[1(𝕀)] pres-c1(H;(phi)s;(f)s+;(t)s+;(t0)s;(cA)s+) pres-c2(H;(phi)s;(f)s+;(t)s+;(t0)s;(cT)s+))}

---

Latex:

---

Latex:

1.  G  :  CubicalSet\{j\}
2.  phi  :  \{G  \mvdash{}  \_:\mBbbF{}\}
3.  A  :  \{G.\mBbbI{}  \mvdash{}  \_\}
4.  T  :  \{G.\mBbbI{}  \mvdash{}  \_\}
5.  f  :  \{G.\mBbbI{}  \mvdash{}  \_:(T  {}\mrightarrow{}  A)\}
6.  t  :  \{G.\mBbbI{},  (phi)p  \mvdash{}  \_:T\}
7.  t0  :  \{G  \mvdash{}  \_:(T)[0(\mBbbI{})][phi  |{}\mrightarrow{}  t[0]]\}
8.  cT  :  G.\mBbbI{}  +\mvdash{}  Compositon(T)
9.  cA  :  G.\mBbbI{}  +\mvdash{}  Compositon(A)
10.  H  :  CubicalSet\{j\}
11.  s  :  H  j{}\mrightarrow{}  G
12.  s+  \mmember{}  H.\mBbbI{}  ij{}\mrightarrow{}  G.\mBbbI{}
\mvdash{}  (<>(comp  (cA)p+  [((phi)p  \mvee{}  (q=1))  \mvdash{}\mrightarrow{}  (presw(G;phi;f;t;t0;cT))p+]  (pres-a0(G;f;t0))p))s
=  H  \mvdash{}  <>(comp  ((cA)s+)p+  [(((phi)s)p  \mvee{}  (q=1))  \mvdash{}\mrightarrow{}  (presw(H;(phi)s;(f)s+;(t)s+;(t0)s;(cT)s+))p+]
                          (pres-a0(H;(f)s+;(t0)s))p)


By

---

Latex:
((InstLemma  `csm+\_wf`  [\mkleeneopen{}G\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}G.\mBbbI{}\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\mBbbI{}\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}p\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (RWO  "csm-interval-type"  (-1)  THENA  Auto)
  THEN  (Assert  \mkleeneopen{}app(f;  t)  \mmember{}  \{G.\mBbbI{},  (phi)p  \mvdash{}  \_:A\}\mkleeneclose{}\mcdot{}
              THENA  ((Assert  \mkleeneopen{}f  \mmember{}  \{G.\mBbbI{},  (phi)p  \mvdash{}  \_:(T  {}\mrightarrow{}  A)\}\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
                            THEN  CubicalAppFun\mcdot{}
                            THEN  RWW  "cubical-fun-subset"  0
                            THEN  Auto)
              )
  THEN  (Assert  \{G.\mBbbI{}.\mBbbI{}  \mvdash{}  \_:(A)p+\}  \msubseteq{}r  \{G.\mBbbI{},  ((phi)p  \mvee{}  (q=1)).\mBbbI{}  \mvdash{}  \_:(A)p+\}  BY
                          (BLemma  `subset-cubical-term`  THEN  EAuto  2))
  THEN  (Assert  \mkleeneopen{}\{G.\mBbbI{}  \mvdash{}  \_:((A)p+)[1(\mBbbI{})][((phi)p  \mvee{}  (q=1))  |{}\mrightarrow{}  ((presw(G;phi;f;t;t0;cT))p+)[1(\mBbbI{})]]\}
                              \mmember{}  \mBbbU{}\{[i'  |  j']\}\mkleeneclose{}\mcdot{}
              THENA  ((Enough  to  prove  ((presw(G;phi;f;t;t0;cT))p+)[1(\mBbbI{})]
                                                              \mmember{}  \{G.\mBbbI{},  ((phi)p  \mvee{}  (q=1))  \mvdash{}  \_:((A)p+)[1(\mBbbI{})]\}
                                Because  Auto)
                            THEN  SubsumeC  \mkleeneopen{}\{G.\mBbbI{}  \mvdash{}  \_:((A)p+)[1(\mBbbI{})]\}\mkleeneclose{}\mcdot{}
                            THEN  Auto)
              )
  THEN  (Assert  (presw(G;phi;f;t;t0;cT))p+  \mmember{}  \{G.\mBbbI{},  ((phi)p  \mvee{}  (q=1)).\mBbbI{}  \mvdash{}  \_:(A)p+\}  BY
                          (DoSubsume  THEN  Auto)))

---

Home Index