---

Step * 1 1 1 1 2 1 2 1 of Lemma AX3


1. e : EuclideanParPlane@i'
2. l2 : Line@i
3. p1 : Point@i
4. l4 : n:{n:Line| p1 I n}  × p1 # l2@i
5. l1 : Line@i
6. p : Point@i
7. m2 : n:{n:Line| p I n}  × p # l1@i
8. p2 : Point@i
9. l : Line@i
10. n : Line@i
11. P4 : p2 I n@i
12. P5 : p2 # l@i
13. ¬((l \/ l2 ∨ n \/ l2) ∧ (∀x:{x:Point| x I l ∧ x I n} . x # l2))
14. l \/ l1
15. ∀x:{x:Point| x I l ∧ x I n} . x # l1
16. ∀l,m,n:Line.  (l \/ m ⇒ (l \/ n ∨ m \/ n))
17. l \/ l2
18. l2 \/ n
19. l2 \/ l
20. l \/ l1
21. l2 \/ n ⇐ (l2 # n) ∧ (∃x:Point. (x I l2 ∧ x I n))
22. (l2 # n)
23. x : Point
24. x I l2
25. x I n
26. x # l
27. l \/ n
⊢ False
BY
{ ((((InstLemma `common-P_point-intersecting-P_lines` [⌜e⌝;⌜<p2, l, n, P4, P5>⌝;⌜<l2, p1, l4>⌝]⋅ THENA Auto)
     THEN ExRepD
     )
    THEN Reduce -1
    )
   THEN (((Assert x1 ≡ x BY (InstLemma `geo-intersect-unique` [⌜e⌝;⌜l2⌝;⌜n⌝;⌜x⌝;⌜x1⌝] ⋅ THEN Auto)) THEN All Reduce)
         THEN RWO "-1" (29)
         THEN Auto)
   THEN InstLemma `geo-incident-iff-not-plsep` [⌜e⌝;⌜x⌝;⌜l⌝]⋅
   THEN EAuto 1) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  e  :  EuclideanParPlane@i'
2.  l2  :  Line@i
3.  p1  :  Point@i
4.  l4  :  n:\{n:Line|  p1  I  n\}    \mtimes{}  p1  \#  l2@i
5.  l1  :  Line@i
6.  p  :  Point@i
7.  m2  :  n:\{n:Line|  p  I  n\}    \mtimes{}  p  \#  l1@i
8.  p2  :  Point@i
9.  l  :  Line@i
10.  n  :  Line@i
11.  P4  :  p2  I  n@i
12.  P5  :  p2  \#  l@i
13.  \mneg{}((l  \mbackslash{}/  l2  \mvee{}  n  \mbackslash{}/  l2)  \mwedge{}  (\mforall{}x:\{x:Point|  x  I  l  \mwedge{}  x  I  n\}  .  x  \#  l2))
14.  l  \mbackslash{}/  l1
15.  \mforall{}x:\{x:Point|  x  I  l  \mwedge{}  x  I  n\}  .  x  \#  l1
16.  \mforall{}l,m,n:Line.    (l  \mbackslash{}/  m  {}\mRightarrow{}  (l  \mbackslash{}/  n  \mvee{}  m  \mbackslash{}/  n))
17.  l  \mbackslash{}/  l2
18.  l2  \mbackslash{}/  n
19.  l2  \mbackslash{}/  l
20.  l  \mbackslash{}/  l1
21.  l2  \mbackslash{}/  n  \mLeftarrow{}{}  (l2  \#  n)  \mwedge{}  (\mexists{}x:Point.  (x  I  l2  \mwedge{}  x  I  n))
22.  (l2  \#  n)
23.  x  :  Point
24.  x  I  l2
25.  x  I  n
26.  x  \#  l
27.  l  \mbackslash{}/  n
\mvdash{}  False


By

---

Latex:
((((InstLemma  `common-P\_point-intersecting-P\_lines`  [\mkleeneopen{}e\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}<p2,  l,  n,  P4,  P5>\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}<l2,  p1,  l4>\mkleeneclose{}]\mcdot{}
        THENA  Auto
        )
      THEN  ExRepD
      )
    THEN  Reduce  -1
    )
  THEN  (((Assert  x1  \mequiv{}  x  BY
                              (InstLemma  `geo-intersect-unique`  [\mkleeneopen{}e\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}l2\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}n\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}x\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}x1\mkleeneclose{}]  \mcdot{}  THEN  Auto))
                THEN  All  Reduce
                )
              THEN  RWO  "-1"  (29)
              THEN  Auto)
  THEN  InstLemma  `geo-incident-iff-not-plsep`  [\mkleeneopen{}e\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}x\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}l\mkleeneclose{}]\mcdot{}
  THEN  EAuto  1)

---

Home Index