---

Step * 1 1 1 1 2 2 1 of Lemma AX3


1. e : EuclideanParPlane@i'
2. l2 : Line@i
3. p1 : Point@i
4. l4 : n:{n:Line| p1 I n}  × p1 # l2@i
5. l1 : Line@i
6. p : Point@i
7. m2 : n:{n:Line| p I n}  × p # l1@i
8. p2 : Point@i
9. l : Line@i
10. n : Line@i
11. P4 : p2 I n@i
12. P5 : p2 # l@i
13. ¬((l \/ l2 ∨ n \/ l2) ∧ (∀x:{x:Point| x I l ∧ x I n} . x # l2))
14. l \/ l1
15. ∀x:{x:Point| x I l ∧ x I n} . x # l1
16. ∀l,m,n:Line.  (l \/ m ⇒ (l \/ n ∨ m \/ n))
17. l \/ l2
18. l2 \/ n
19. n \/ l
20. x : Point
21. x I fst(snd(<p2, l, n, P4, P5>))
22. x I fst(snd(snd(<p2, l, n, P4, P5>)))
23. x I fst(<l2, p1, l4>)
24. S1 : x I l2
25. S2 : x # l1
26. l1 \/ l2
27. ∀x:{x@0:Point| x@0 I l1 ∧ x@0 I l2} . x # l2
⊢ False
BY
{ ((((InstLemma `geo-intersect-lines-iff` [⌜e⌝;⌜l1⌝;⌜l2⌝]⋅ THEN Auto) THEN ExRepD) THEN InstHyp [⌜x1⌝] (27)⋅ THEN Auto)
   THEN InstLemma `geo-incident-not-plsep` [⌜e⌝;⌜x1⌝;⌜l2⌝]⋅
   THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  e  :  EuclideanParPlane@i'
2.  l2  :  Line@i
3.  p1  :  Point@i
4.  l4  :  n:\{n:Line|  p1  I  n\}    \mtimes{}  p1  \#  l2@i
5.  l1  :  Line@i
6.  p  :  Point@i
7.  m2  :  n:\{n:Line|  p  I  n\}    \mtimes{}  p  \#  l1@i
8.  p2  :  Point@i
9.  l  :  Line@i
10.  n  :  Line@i
11.  P4  :  p2  I  n@i
12.  P5  :  p2  \#  l@i
13.  \mneg{}((l  \mbackslash{}/  l2  \mvee{}  n  \mbackslash{}/  l2)  \mwedge{}  (\mforall{}x:\{x:Point|  x  I  l  \mwedge{}  x  I  n\}  .  x  \#  l2))
14.  l  \mbackslash{}/  l1
15.  \mforall{}x:\{x:Point|  x  I  l  \mwedge{}  x  I  n\}  .  x  \#  l1
16.  \mforall{}l,m,n:Line.    (l  \mbackslash{}/  m  {}\mRightarrow{}  (l  \mbackslash{}/  n  \mvee{}  m  \mbackslash{}/  n))
17.  l  \mbackslash{}/  l2
18.  l2  \mbackslash{}/  n
19.  n  \mbackslash{}/  l
20.  x  :  Point
21.  x  I  fst(snd(<p2,  l,  n,  P4,  P5>))
22.  x  I  fst(snd(snd(<p2,  l,  n,  P4,  P5>)))
23.  x  I  fst(<l2,  p1,  l4>)
24.  S1  :  x  I  l2
25.  S2  :  x  \#  l1
26.  l1  \mbackslash{}/  l2
27.  \mforall{}x:\{x@0:Point|  x@0  I  l1  \mwedge{}  x@0  I  l2\}  .  x  \#  l2
\mvdash{}  False


By

---

Latex:
((((InstLemma  `geo-intersect-lines-iff`  [\mkleeneopen{}e\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}l1\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}l2\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THEN  Auto)  THEN  ExRepD)
    THEN  InstHyp  [\mkleeneopen{}x1\mkleeneclose{}]  (27)\mcdot{}
    THEN  Auto)
  THEN  InstLemma  `geo-incident-not-plsep`  [\mkleeneopen{}e\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}x1\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}l2\mkleeneclose{}]\mcdot{}
  THEN  Auto)

---

Home Index